堆排序是一種樹形選擇排序方法，它的特點是：在排序的過程中，將array[0，...，n-1]看成是一顆完全二叉樹的順序儲存結構，利用完全二叉樹中雙親節點和孩子結點之間的內在關係，在當前無序區中選擇關鍵字最大（最小）的元素。

1. 若array[0，...，n-1]表示一顆完全二叉樹的順序儲存模式，則雙親節點指標和孩子結點指標之間的內在關係如下：

　　任意一節點指標 i：父節點：i==0 ? null : (i-1)/2

　　　　　　　　　　  左孩子：2*i + 1

　　　　　　　　　　  右孩子：2*i + 2

2. 堆的定義：n個關鍵字序列array[0，...，n-1]，當且僅當滿足下列要求：(0 <= i <= (n-1)/2)

　　　　　　① array[i] <= array[2*i + 1] 且 array[i] <= array[2*i + 2]； 稱為小根堆；

　　　　　　② array[i] >= array[2*i + 1] 且 array[i] >= array[2*i + 2]； 稱為大根堆；

3. 建立大根堆：

　　n個節點的完全二叉樹array[0，...，n-1]，最後一個節點n-1是第(n-1-1)/2個節點的孩子。對第(n-1-1)/2個節點為根的子樹調整，使該子樹稱為堆。

　　對於大根堆，調整方法為：若【根節點的關鍵字】小於【左右子女中關鍵字較大者】，則交換。

　　之後向前依次對各節點（(n-2)/2 - 1）~ 0為根的子樹進行調整，看該節點值是否大於其左右子節點的值，若不是，將左右子節點中較大值與之交換，交換後可能會破壞下一級堆，於是繼續採用上述方法構建下一級的堆，直到以該節點為根的子樹構成堆為止。

　　反覆利用上述調整堆的方法建堆，直到根節點。

4.堆排序：（大根堆）

　　①將存放在array[0，...，n-1]中的n個元素建成初始堆；

　　②將堆頂元素與堆底元素進行交換，則序列的最大值即已放到正確的位置；

　　③但此時堆被破壞，將堆頂元素向下調整使其繼續保持大根堆的性質，再重複第②③步，直到堆中僅剩下一個元素為止。

堆排序演算法的效能分析：

　　空間複雜度:o(1)；

　　時間複雜度:建堆：o(n)，每次調整o(log n)，故最好、最壞、平均情況下：o(n*logn);

　　穩定性：不穩定

建立大根堆的方法：

//構建大根堆：將array看成完全二叉樹的順序儲存結構
    private int[] buildMaxHeap(int[] array){
        //從最後一個節點array.length-1的父節點（array.length-1-1）/2開始，直到根節點0，反覆調整堆
        for(int i=(array.length-2)/2;i>=0;i--){ 
            adjustDownToUp(array, i,array.length);
        }
        return array;
    }
    
    //將元素array[k]自下往上逐步調整樹形結構
    private void adjustDownToUp(int[] array,int k,int length){
        int temp = array[k];   
        for(int i=2*k+1; i<length-1; i=2*i+1){    //i為初始化為節點k的左孩子，沿節點較大的子節點向下調整
            if(i<length && array[i]<array[i+1]){  //取節點較大的子節點的下標
                i++;   //如果節點的右孩子>左孩子，則取右孩子節點的下標
            }
            if(temp>=array[i]){  //根節點 >=左右子女中關鍵字較大者，調整結束
                break;
            }else{   //根節點 <左右子女中關鍵字較大者
                array[k] = array[i];  //將左右子結點中較大值array[i]調整到雙親節點上
                k = i; //【關鍵】修改k值，以便繼續向下調整
            }
        }
        array[k] = temp;  //被調整的結點的值放人最終位置
    }

建立完成後進行堆排序:

//堆排序
    public int[] heapSort(int[] array){
        array = buildMaxHeap(array); //初始建堆，array[0]為第一趟值最大的元素
        for(int i=array.length-1;i>1;i--){  
            int temp = array[0];  //將堆頂元素和堆低元素交換，即得到當前最大元素正確的排序位置
            array[0] = array[i];
            array[i] = temp;
            adjustDownToUp(array, 0,i);  //整理，將剩餘的元素整理成堆
        }
        return array;
    }

 刪除堆頂元素:

//刪除堆頂元素操作
    public int[] deleteMax(int[] array){
        //將堆的最後一個元素與堆頂元素交換，堆底元素值設為-99999
        array[0] = array[array.length-1];
        array[array.length-1] = -99999;
        //對此時的根節點進行向下調整
        adjustDownToUp(array, 0, array.length);
        return array;
    }

對堆的插入操作：先將新節點放在堆的末端，再對這個新節點執行向上調整操作。

假設陣列的最後一個元素array[array.length-1]為空，新插入的結點初始時放置在此處。

//插入操作:向大根堆array中插入資料data
    public int[] insertData(int[] array, int data){
        array[array.length-1] = data; //將新節點放在堆的末端
        int k = array.length-1;  //需要調整的節點
        int parent = (k-1)/2;    //雙親節點
        while(parent >=0 && data>array[parent]){
            array[k] = array[parent];  //雙親節點下調
            k = parent;
            if(parent != 0){
                parent = (parent-1)/2;  //繼續向上比較
            }else{  //根節點已調整完畢，跳出迴圈
                break;
            }
        }
        array[k] = data;  //將插入的結點放到正確的位置
        return array;
    }

進行測試:

public void toString(int[] array){
        for(int i:array){
            System.out.print(i+" ");
        }
    }
    
    public static void main(String args[]){
        HeapSort hs = new HeapSort();
        int[] array = {87,45,78,32,17,65,53,9,122};
        System.out.print("構建大根堆：");
        hs.toString(hs.buildMaxHeap(array));
        System.out.print("\n"+"刪除堆頂元素：");
        hs.toString(hs.deleteMax(array));
        System.out.print("\n"+"插入元素63:");
        hs.toString(hs.insertData(array, 63));
        System.out.print("\n"+"大根堆排序：");
        hs.toString(hs.heapSort(array));    
    }

 構建大根堆：122 87 78 45 17 65 53 9 32 
 刪除堆頂元素：87 45 78 32 17 65 53 9 -99999 
 插入元素63:87 63 78 45 17 65 53 9 32 
 大根堆排序：9 17 32 45 53 63 65 78 87