【參考資料】 【1】《實變函式與泛函分析基礎》 【2】《陶澤軒實分析》 【3】《實變函式與泛函分析》

外測度

定義: 設E為$R^n$中任一點集，對於每一列覆蓋E的開區間$\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i \subset E$,作出它的體積總和$u=\sum\limits_{i=1}^{\infty}|I_i|$，所有一切u組成一個下方有界的數集，它的下确界稱為E的勒貝格外側度，簡稱L外側度，記作$m^*E$,即:

$m^*E = \inf\limits_{E \subset \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i }\sum\limits_{i=1}^{\infty}|I_i|$

外側度具備三條基本性質:

(1) $m^*E \ge 0$，當E是空集時，$m^*E=0$ (2) 設$A \subset B$，則$m^*A \le m^*B$ (單調性) (3) $m^*(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i) \le \sum\limits_{i=1}^{\infty}m^*A_i$(次可數可加性)

給出(3)的證明如下:

1. 對每一個$A_i$
   構造其對應的外側度，即存在對應的開區間$I_{n,1}, I_{n, 2}, \dots, I_{n,m}$使得$A_n \subset \bigcup\limits_{m=1}^{\infty}I_{n,m}$，同時滿足如下要求: $\sum\limits_{m=1}^{\infty}|I_{n,m}| \le m^*A_n + \dfrac{\epsilon}{2^n}$
2. 對所有的A取交集，我們得到 ${\bigcup }_{}^{}$
   n=1∞An⊂⋃n,m=1∞In,m\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n \subset \bigcup\limits_{n,m=1}^{\infty}I_{n,m} 由外側度的單調性可知 $m^*(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n) \le \sum\limits_{n,m=1}^{\infty}|I_{n,m}|$
3. 分析I組成開集的外測度 $\sum\limits_{n,m=1}^{\infty}|I_{n,m}|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}|I_{n,m}| \le \sum\limits_{n=1}^{\infty}(m^*A_n + \dfrac{\epsilon}{2^n})$

$=\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^*A_n + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\epsilon}{2^n}$ 由於$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}$收斂於1 $=\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^*A_n + \epsilon$

可測集

由於外側度不具備可數可加性，因此我們要給出一種集合，使得在這種集合裡存在$m^*(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}m^*A_i$

定義: 設$E \subset R^n$，若對任意$T \subset R^n$，有 $m^*(T) = m^*(T \cap E) + m^*(T \cap E^c)$，則稱E是勒貝格可測集。可測集的全體記作m，稱為$R^n$的可測集類。

於是我們重新描述可數可加性如下：

若$E_j \in M, j=1,2,....$，這裡M指可測集類，則$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}E_j \in M$，若還有$E_i \cap E_j = \emptyset \quad i \ne j$，則有$m(\bigcup\limits_{j=1}^{\infty}E_j)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}m(E_j)$