RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即區間最值問題。

對於長度為 n 的數列 A ，回答若干查詢 RMQ(A,i,j)(i,j<=n) ，返回數列 A 中下標在 i,j 裡的最大（小）值。

相關演算法

1. 樸素（搜尋），時間複雜度：\(O(n)-O(q \times n)\) ，線上；
2. 線段樹，時間複雜度：$O(n)-O(q\times logn) $，線上；
3. ST（動態規劃），時間複雜度：\(O(n\times logn)-O(q)\)，線上；
4. RMQ標準演算法，先規約為LCA，再規約成約束RMQ ，時間複雜度：\(O(n)-O(q)\)
   ，線上。

ST 演算法

假設當前題目要求區間最小值，我們令 dp[i][j] 代表從 i 開始，長度為\(2^{j}\)這段區間的最小值。

於是便有：\(dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+^{j-1}][j-1])\)

分析可知，\(dp[i][j-1]\)代表從 i 開始，長度為\(2^{j}\)區間一半中的最小值，而 \(dp[i+2^{j-1}][j-1]\)即為區間的另一半。

即為區間的另一半。

最終（從下往上看）：

預處理

根據狀態轉移方程，首先指定當區間長度為\(2^{0}\)時的各初始值，隨後推出後面的結果。

void ST_Init(const vector<int> &A) {
    int n=A.size();
    for (int i=0; i<n; i++)
        dp[i][0]=A[i];
    for (int j=1; (1<<j)<=n; j++)
        for (int i=0; i+(1<<j)<=n; i++)
            dp[i][j]=min(dp[i][j-1], dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

查詢

預處理出整個 dp 陣列以後，查詢操作很簡單，令 k 為滿足\(2^{k} \leq R-L+1\)的最大整數，則以 L 開頭、以 R 結尾的兩個長度為\(2^{k}\)的區間合起來即覆蓋了查詢區間 [L,R] 。

int RMQ(int L, int R) {
    int k=0;
    while ((1<<(k+1))<=R-L+1) k++;
    return min(dp[L][k], dp[R-(1<<k)+1][k]);
}

嗯！怎麼說呢？感覺線段樹在這種型別的題目中好像是最萬能的方法了。

無論是 [點修改+查詢] 還是 [區間修改+查詢] ，它都可以做到 \(O(logn)\)的複雜度，而且線上段樹中我們也可以維護好多東西（區間和、最值等等）。

對於一維中的線段樹，我們想要查詢某個區間的最值，首先就應該建樹咯~（具體方法省略）

而在查詢時，我們可以從根節點向下遞迴搜尋，如下圖，假設查詢區間為 [2,6] 。

將 [2,6] 這一個大區間分解為不相交的三個小區間 [2,3]、[4,5]、[6] ，而最終的結果便由這三個節點中所維護的資訊決定的！

我們假設查詢還是區間最小值，於是最終的結果為\(\min(1,7,6)=1\)

線段樹可以解決普通的 [點/區間] 修改+查詢 ，當然它也可以解決 樹中的路徑權值 修改+查詢（樹鏈剖分）。