遞迴的定義

遞迴和迭代是程式設計中最為常用的基本技巧，而且遞迴常常比迭代更為簡潔和強大。它的定義就是：直接或間接呼叫自身。經典問題有：冪運算、階乘、組合數、斐波那契數列、漢諾塔等。其演算法思想：

• 原問題可分解子問題（必要條件）；
• 原與分解後的子問題相似（遞迴方程）；
• 分解次數有限（子問題有窮）；
• 最終問題可直接解決（遞迴邊界）；

對於遞迴的應用與優化，直接遞迴時要預估時空複雜度，以免出現用時過長或者棧溢位。優化遞迴就是以不做重複的事兒為原則進行。對於常見數列問題，常常會有遞推公式，也即 f(n) 和 f(n-1) 的關係式，由遞推公式其實就很容易寫出遞迴演算法的程式碼，這裡要重新詳細說一下遞迴和遞推的區別：

• 遞迴：將問題規模為n的問題，降解成若干個規模為n-1的問題，依次降解，直到問題規模可求，求出低階規模的解，代入高階問題中，直至求出規模為n的問題的解， ( n  ->  0)；
• 遞推：構造低階的規模(如規模為i，一般 i=0 ) 的問題，並求出解，推匯出問題規模為i+1的問題以及解，依次推到規模為n的問題， (0  ->  n)；

快速冪

直接轉換成程式碼，時間複雜度由樸素冪運算的 O(n) -> O(logn) ：

/* a 的  n 次方的快速冪，C 程式碼 */
int quickpower(int a, int n) {
	if (n == 0)
		return 1;

	if (n % 2 == 1)
		return quickpower(a, n / 2) * quickpower(a, n / 2) * a;
	else
		return quickpower(a, n / 2) * quickpower(a, n / 2);
}
 

斐波那契數列

轉換為程式碼，時間複雜度由直接遞迴的 O(n^2) -> O(logn) , 下面的實驗用 Python 實現，如果用 C++ 過載乘法運算子，則可以很大程度複用快速冪程式碼了就:

from time import clock
from functools import reduce

# 遞迴計算斐波那契數列 , python3 實現
def fib1(n):
    if n <= 1 :
        return 1
    else :
        return fib1(n - 1) + fib1(n - 2)

# 計算 a, b (都是 2×2 的矩陣) 的乘積 
def mul(a, b):
    r = [[0, 0], [0, 0]]
    r[0][0] = a[0][0] * b[0][0] + a[0][1] * b[1][0];
    r[0][1] = a[0][0] * b[0][1] + a[0][1] * b[1][1];
    r[1][0] = a[1][0] * b[0][0] + a[1][1] * b[1][0];
    r[1][1] = a[1][0] * b[0][1] + a[1][1] * b[1][1];
    return r;

# 遞迴加速計算斐波那契數列 O(n^2) -> O(logn)
def fib(n):
    if n == 0:
        return [[1, 0], [0, 1]]
    if n == 1:
        return [[1, 1], [1, 0]]
    if n % 2 == 0 :
        return mul(fib(int(n / 2)), fib(int(n / 2)))
    else:
        return reduce(mul,[fib(int(n / 2)),fib(int(n / 2)),[[1, 1], [1, 0]]])

if __name__ == '__main__':
    starttime = clock()
    print(fib1(35))  
    endtime = clock()
    print('直接計算用遞迴:', endtime - starttime)
    starttime = clock()
    print(fib(35)[0][0])
    endtime = clock()
    print('矩陣遞迴冪加速:', endtime - starttime)

''' 
試驗執行結果：
14930352
直接計算用遞迴: 5.524596036360783
14930352
矩陣遞迴冪加速: 0.00015129910309763517
'''