上一篇文章我們介紹了在詞法分析中涉及到的詞法單元、模式和詞素的概念，並給出了正則表示式的遞迴定義，以及如何把一個正則表示式轉換成一個狀態轉換圖。本篇文章將接著上一篇文章的內容，繼續介紹詞法分析的一個重要內容——有窮自動機。

有窮自動機
一個有窮自動機可以把一個描述詞素的模式變成一個詞法分析器，從本質上來講，有窮自動機是與狀態轉換圖相類似的圖，它有以下特點：

有窮自動機是一個識別器，它只能對每個輸入符號串簡單的輸出“yes”或“no”，表示是否能夠識別此符號串；
有窮自動機和狀態轉換圖類似，它具有有限個數的結點，每個結點表示一個狀態，並且這些狀態中有一個初始狀態和若干個終止狀態。從一個狀態s開始，經過被某個符號a（可能包括ε）標記的有向邊，可以到達另一個狀態t或者回到狀態s（成環）；
有窮自動機分為不確定的有窮自動機和確定的有窮自動機，不確定的和確定的有窮自動機能識別的語言集合是相同的。
不確定的有窮自動機
一個不確定的有窮自動機（Nondeterministic Finite Automate，下文簡稱NFA）由以下部分組成：

結點集合：一個有窮的狀態集合S；
標記集合：一個輸入符號集合∑，以及空串ε；
轉換函式：它為每個狀態和∑∪{ε}中的每個符號都給出了相應的後繼狀態的集合。即轉換函式的輸入是某個狀態s和∑∪{ε}中的某個符號a，輸出是從狀態s出發，經過標記為a的邊，能夠到達的所有狀態的集合；
初始狀態：S的一個狀態被指定為初始狀態；
終止狀態：S的一個子集被指定為終止狀態的集合。
從NFA的組成部分可以看出，它和狀態轉換圖的不同之處在於：

同一個符號可以標記從同一個狀態出發到達多個目標狀態的多條邊，即轉換函式是一對多關係的；
一條邊的標號不僅可以是輸入符號集合中的符號，也可以是空串ε。
另外，我們也可以把一個NFA用一張轉換表來表示，表的每行對應狀態，表的每列對應輸入符號和ε（實際上就是在資料結構中學過的圖的鄰接表）。下面是一個NFA及其對應的轉換表：

確定的有窮自動機
確定的有窮自動機（Deterministic Finite Automate，下文簡稱DFA）是NFA的一個特例，其中：

標記集合：一個輸入符號集合∑，但不包含空串ε；
轉換函式：對每個狀態s和每個輸入符號a，有且僅有一條標號為a的邊離開s，即轉換函式的對應關係從一對多變為了一對一。
同樣的，一個DFA也能用一個轉換表來表示。由於此時每個表項中只有一個狀態，因此可以省去括號，下面是和在NFA中同一個正則表示式對應的DFA及其轉換表：

從NFA到DFA的轉換
NFA抽象地表示了用來識別某個語言中的串的演算法，而相應的DFA則是一個簡單具體的識別串的演算法。在構造詞法分析器時，真正實現或模擬的是DFA。本節先不論如何從一個正則表示式構建一個有窮自動機，而是討論如何從一個NFA轉換得到相應的DFA。

從NFA轉換得到一個DFA通常使用子集構造法（subset construction）。子集構造法的基本思想是讓構造得到的DFA的每個狀態對應於NFA的一個狀態集合，下面對其進行說明。

由NFA構建DFA的子集構造演算法，輸入一個NFA N，輸出一個接受同樣語言的DFA D。在此期間會為D構造一個轉換表Dtran，D的每個狀態是N的狀態的一個子集，也就是說，D的一個狀態，是在N中從狀態s開始經過標號為a或者ε的邊能夠到達的所有狀態的集合，為此，我們需要認識在NFA狀態集上的操作：

其中，ε-closure(T)操作的詳細過程如下：

我們必須找出當N讀入了某個輸入串之後可能位於的所有狀態集合。首先，在讀入第一個輸入符號之前，N可以位於集合ε-closure(s0)中的任何狀態上（s0是N的初始狀態）；接著，假定N在讀入串x之後位於集合T中的狀態上，如果下一個輸入符號為a，那麼N可以移動到集合move(T, a)中的任何狀態上，又因為N可以在讀入a後再執行幾個ε轉換，所以N在讀入串xa後可以位於ε-closure(move(T, a))中的任何狀態上。這個過程可以用下面的偽程式碼表示：

下面我們來實際操作一下。對正則表示式(a|b)*abb，它的一個NFA如下圖：

下面我們使用子集構造法構造一個等價的DFA：

DFA的初始狀態A是ε-closure(0)，即A={ 0, 1, 2, 4, 7 }，A中的狀態就是從狀態0出發，只經過標號為ε的邊到達的所有狀態；
由於輸入符號只有a和b，下面我們計算ε-closure(move(A, a))和ε-closure(move(A, b))，得到Dtran[A, a]=ε-closure(move(A, a))={ 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 }和Dtran[A, b]=ε-closure(move(A, b))={ 1, 2, 4, 5, 6, 7 }，令狀態B為Dtran[A, a]，狀態C為Dtran[A, b]；
類似第2步，現在我們需要計算ε-closure(move(B, a))、ε-closure(move(B, b))、ε-closure(move(C, a))和ε-closure(move(C, b))，如果出現新的集合，則按照大寫字母順序標記，直到沒有新狀態產生為止；
把包含NFA終止狀態的DFA狀態標記為DFA的終止狀態。
這樣我們就得到了一個等價的DFA，下面是這個DFA及其轉換表：

 
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作者：jzyhywxz 
來源：CSDN 
原文：https://blog.csdn.net/jzyhywxz/article/details/78300350 
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