前面我們總結了資訊熵的概念通俗理解資訊熵 - 知乎專欄,這次我們來理解一下條件熵。

我們首先知道資訊熵是考慮該隨機變數的所有可能取值，即所有可能發生事件所帶來的資訊量的期望。公式如下：

我們的條件熵的定義是：定義為X給定條件下，Y的條件概率分佈的熵對X的數學期望

這個還是比較抽象，下面我們解釋一下：

設有隨機變數（X,Y），其聯合概率分佈為 

條件熵H（Y|X）表示在已知隨機變數X的條件下隨機變數Y的不確定性。隨機變數X給定的條件下隨機變數Y的條件熵H(Y|X)

公式

下面推導一下條件熵的公式：

注意

注意，這個條件熵，不是指在給定某個數（某個變數為某個值）的情況下，另一個變數的熵是多少，變數的不確定性是多少？

因為條件熵中X也是一個變數，意思是在一個變數X的條件下（變數X的每個值都會取），另一個變數Y熵對X的期望。

這是最容易錯的！

例子

下面通過例子來解釋一下：

假如我們有上面資料：

設隨機變數Y={嫁，不嫁}

我們可以統計出，嫁的個數為6/12 = 1/2

不嫁的個數為6/12 = 1/2

那麼Y的熵，根據熵的公式來算，可以得到H（Y） = -1/2log1/2 -1/2log1/2

為了引出條件熵，我們現在還有一個變數X，代表長相是帥還是帥，當長相是不帥的時候，統計如下紅色所示：

可以得出，當已知不帥的條件下，滿足條件的只有4個數據了，這四個資料中，不嫁的個數為1個，佔1/4

嫁的個數為3個，佔3/4

那麼此時的H（Y|X = 不帥） = -1/4log1/4-3/4log3/4

p(X = 不帥) = 4/12 = 1/3

同理我們可以得到：

當已知帥的條件下，滿足條件的有8個數據了，這八個資料中，不嫁的個數為5個，佔5/8

嫁的個數為3個，佔3/8

那麼此時的H（Y|X = 帥） = -5/8log5/8-3/8log3/8

p(X = 帥) = 8/12 = 2/3

計算結果

有了上面的鋪墊之後，我們終於可以計算我們的條件熵了，我們現在需要求：

H（Y|X = 長相）

也就是說，我們想要求出當已知長相的條件下的條件熵。

根據公式我們可以知道，長相可以取帥與不帥倆種

條件熵是另一個變數Y熵對X（條件）的期望。

公式為：

H（Y|X=長相） = p(X =帥)*H（Y|X=帥）+p(X =不帥)*H（Y|X=不帥）

然後將上面已經求得的答案帶入即可求出條件熵！

這裡比較容易錯誤就是忽略了X也是可以取多個值，然後對其求期望！！

總結

其實條件熵意思是按一個新的變數的每個值對原變數進行分類，比如上面這個題把嫁與不嫁按帥，不帥分成了倆類。

然後在每一個小類裡面，都計算一個小熵，然後每一個小熵乘以各個類別的概率，然後求和。

我們用另一個變數對原變數分類後，原變數的不確定性就會減小了，因為新增了Y的資訊，可以感受一下。不確定程度減少了多少就是資訊的增益。

後面會講資訊增益的概念，資訊增益也是決策樹演算法的關鍵。

致謝：

德川，皓宇，繼豪，施琦