插入排序法

插入排序法是一種很容易想到的演算法，它的思路與打撲克時排列手牌的方法很相似。比如我們現在單手拿牌，然後要將牌從左至右，從小到大進行排序。此時我們需要將牌一張張抽出來，分別插入到前面已排好序的手牌中的適當位置。重複這一操作直到插入最後一張牌，整個排序就完成了。

插入排序的演算法如下：

insertionSort(A, N) // 包含 N 個元素的 0 起點陣列 A
    for i from 1 to N - 1
        v = A[i]
        j = i - 1
        while j >= 0 and A[j] > v
            A[j + 1] = A[j]
            j--
        A[j + 1] = v
 

講解

插入排序法在排序過程中，會將整個陣列分成 “已排序部分” 和 “未排序部分”。

舉個例子，我們對陣列  進行插入排序時，整體流程如下圖所示。

8 3 1 5 2 1 // 步驟 0
0 1 2 3 4 5 // 下標

3 8 1 5 2 1 // 步驟 1
0 1 2 3 4 5 // 下標

1 3 8 5 2 4 // 步驟 2
0 1 2 3 4 5 // 下標

1 3 5 8 2 1 // 步驟 3
0 1 2 3 4 5 // 下標

1 2 3 5 8 1 // 步驟 4
0 1 2 3 4 5 // 下標

1 1 2 3 5 8 // 步驟 5
0 1 2 3 4 5 // 下標

在步驟 1 中，將開頭元素

在步驟 2 中，我們要把 的 1 插入恰當位置。這裡首先將比 1 大的 和 順次向後移動一個位置，然後把 1 插入 。

在步驟 3 中，我們要把 的 5 插入恰當位置。這次將比 5 大的 向後移動一個位置，然後把 5 插入 。

之後同理，將已排序部分的其中一段向後移動，再把未排序部分的開頭元素插入已排序部分的恰當位置。插入排序法的特點在於，只要 0 到第 號元素全部排入已排序部分，那麼無論後面如何插入，這個 0 到第

實現插入排序法時需要的主要變數如下表所示：

	長度為 的整形陣列
	迴圈變數，表示未排序部分的開頭元素
	臨時儲存 值的變數
	迴圈變數，用於在已排序部分尋找 的插入位置

外層迴圈的 從 1 開始自增。在每次迴圈開始時，將 的值臨時儲存在變數 中。

接下來是內部迴圈。我們要從已排序部分找出比 大的元素並讓它們順次後移一個位置。這裡，我們讓 從 開始向前自減，同時將比 大的元素從 移動到 。一旦 等於 -1 或當前   小於等於 則結束迴圈 ，並將 插入當前 的位置。

考察

在插入排序法中，我們只將比 （去出的值）大的元素向後平移，不相鄰的元素不會直接交換位置，因此整個排序演算法十分穩定。

然後我們考慮一下插入排序法的複雜度。這裡需要估計每個  迴圈中 元素向後移動的次數。最壞的情況下，每個  迴圈都需要執行 次移動，總共需要 次移動，即演算法複雜度為 。大多數時候，我們在計算複雜度的過程中，可以大致估計一下運算次數，然後只留下對代數式影響最大的項，忽略常數項。比如 ，這裡的 相對於 而言就小得足以忽略，然後再忽略掉常數倍 ，得出複雜度與 成正比。當然，前提是假設這裡的 足夠大。

插入排序法是一種很有趣的演算法，輸入資料的順序能大幅影響它的複雜度。我們前面說它的複雜度為 ，也僅是指輸入資料為降序排列的情況。如果輸入資料為升序排列，那麼 從頭至尾都不需要移動，程式只需要經歷 次比較便可執行完畢。可見，插入排序法的優勢就在於能快速處理相對有序的資料。

演算法實現

#include <stdio.h>

/* 按順序輸出陣列元素 */
void trace(int A[], int N) {
    int i;
    for (i = 0; i < N; i++) {
        if (i > 0) printf(" "); /* 在相鄰元素之間輸出 1 個空格 */
        printf("%d", A[i]);
    }
    printf("\n");
}

/* 插入排序（0 起點陣列）*/
void insertionSort(int A[], int N) {
    int i, j, v;
    for (i = 1; i < N; i++) {
        v = A[i];
        j = i - 1;
        while (j >= 0 && A[j] > v) {
            A[j + 1] = A[j];
            j--;
        }
        A[j + 1] = v;
        trace(A, N);
    }
}

int main() {
    int N, i, j;
    int A[100];

    scanf("%d", &N);
    for (i = 0; i < N; i++) scanf("%d", &A[i]);

    trace(A, N);
    insertionSort(A, N);

    return 0;
}

/*
輸入示例：
6
5 2 4 6 1 3

輸出示例：
5 2 4 6 1 3
2 5 4 6 1 3
2 4 5 6 1 3
2 4 5 6 1 3
1 2 4 5 6 3
1 2 3 4 5 6
*/