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1. 優先佇列與索引優先佇列

優先佇列的原理大家應該比較熟悉，本質上就是利用完全二叉樹的結構實現以log₂n的時間複雜度刪除佇列中的最小物件（這裡以小堆頂為例）。完全二叉樹又可以通過陣列下標實現索引，當插入一個物件的時候，利用上浮操作更新最小物件。當刪除堆頂最小物件時，將末尾的物件放置到堆頂上，然後執行下沉操作。

優先佇列有一個缺點，就是不能直接訪問已存在於優先佇列中的物件，並更新它們。這個問題在Dijistra演算法中就有明顯的體現，有時候我們需要更新已在佇列中的頂點的距離。為此就需要設計一種新型的資料結構來解決這個問題，這就是本文要介紹的索引優先佇列。

索引優先隊用一個整數和物件進行關聯，當我們需要跟新該物件的值時，可以通這個整數進行快速索引，然後對物件的值進行更新。當然更新後的物件在優先佇列中的位置可能發生變化，這樣以保證整個佇列還是一個優先佇列。

簡易版的索引優先佇列API

注意與物件關聯的整數

2. 索引優先佇列的實現原理

為了實現快速索引，我們首先嚐試一個簡單版本。我們建立兩個陣列分別是pq，elements。elements的作用是儲存物件的引用，我們將每個物件儲存在與之相關的整數作為下標的位置中，elements儲存的物件不一定在陣列中連續存放。pq儲存是與物件相關的整數值，注意陣列pq是連續存放的。此時pq作為優先佇列，但是在上浮和下沉操作中，我們比較的是pq中值作為下標的elements陣列中的值。這樣我們就可以實現快速索引。

下圖中，我們以字串作為儲存的物件型別，建立一個索引優先佇列

從中我們可以看出，我們設計陣列pq陣列的目的。我們只需要對pq中的數值進行維護就可以實現一個優先佇列，而elements中的物件的位置保持不變（出列時會置為null），這樣就可以方便我們快速索引。比如通過elements陣列我們可以知道與整數3相關的字串為“f”。

在圖中，我們插入一個與整數10相關的字串“b”後，pq和elements中的值如下圖所示。

假設在上圖的基礎上，我們要將與整數3相關的字串修改為“a”，那麼我們只需要讓elements[3] = “a”即可。然後去維護pq中的值。但是在維護pq中的值時出現了一個問題，我們不知道pq中哪個位置中的值為3，只能從都到尾遍歷，找到這個元素所在的位置後進行上浮和下沉操作（因為我們必須通過下標才能快速找到父節點或者孩子節點）。為了能夠快速找到pq中元素值對應的下標，我們需要額外設定一個數組qp，它的作用是儲存與物件相關的整數在pq陣列中的下標，並在上浮和下沉的過程中同時維護它。

在上述的基礎上，假設我們需要將與整數3相關的字串修改為“a”，那麼我們只需要讓elements[3] = “a”，然後通過qp[3]中的值2就可以知道陣列pq中值為3的下標為2，然後對pq[2]進行上浮或下沉操作。這裡顯然需要進行上浮操作，那麼我們要交換pq[1]和pq[2]的值。這個時候我們需要注意的是，在交換pq陣列中的兩個元素的值時，我們也需要交換qp對應兩個元素的值，因為與物件相關的整數在pq的不同位置上，那麼顯然該整數在pq所在的下標也變了，所以qp中的值也應該發生變化。而需要交換的qp中的兩元素的下標正好就是pq中兩元素的值。結果如下圖所示。所以我們也需要交換qp[3]和qp[10]的值。

3. 索引優先佇列的程式碼實現

上述的索引優先佇列的原理中不能將數字0與物件進行關聯，因為三個陣列沒有使用下標為0的位置。如果要實現與數字0進行關聯，入列時只需要每個關聯的數字加1；當出列時，我們只需要將返回的數字減1。

package datastruct;

import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;

public class IndexPriorityQueue<T> {
	private int[] pq;
	private int[] qp;
	private Object[] element;
	private final int capacity;
	private int size;
	private Comparator<? super T> cmp;
	
	
	private static class Cmp<T> implements Comparator<T>{
		@SuppressWarnings({ "unchecked", "rawtypes" })
		@Override
		public int compare(T t1, T t2) {
			return ((Comparable)(t1)).compareTo(t2);
		}
	}
	
	private static void swap(int[] a, int i, int j){
		int tmp;
		tmp = a[i];
		a[i] = a[j];
		a[j] = tmp;
	}
	
	//與物件關聯的整數範圍是[0,capacity-1]
	public IndexPriorityQueue(int capacity, Comparator<T> cmp){
		this.capacity = capacity;
		pq = new int[capacity+1];
		qp = new int[capacity+1];
		Arrays.fill(qp, -1);
		element = new Object[capacity+1];
		if(cmp == null){
			this.cmp = new Cmp<T>();
		}
	}
	
	public void enqueue(int k, T t){
		k++;//使得關聯的整數可以為0
		
		if(k > capacity){
			throw new IllegalArgumentException();
		}
		
		if(qp[k] != -1){
			element[k] = t;
			swim(qp[k]);
			sink(qp[k]);
			return;
		}
		
		size++;
		pq[size] = k;
		qp[k] = size;
		element[k] = t;
		
		swim(size);
	}
	
	@SuppressWarnings("unchecked")
	private void swim(int child){
		int parent = child/2;
		while(parent > 0){			
			if(cmp.compare((T)element[pq[child]], (T)element[pq[parent]]) < 0){
				swap(pq, child, parent);
				swap(qp, pq[child], pq[parent]);
				child = parent;
				parent = child/2;
			}else{
				break;
			}
		}
	}
	
	public int dequeue(){
		if(size == 0){
			throw new IllegalArgumentException();
		}
		int r = pq[1];
		element[r] = null;
		swap(pq, size, 1);
		swap(qp, pq[size], pq[1]);
		pq[size] = -1;
		size--;
		sink(1);
		r--;//使得關聯的整數可以為0
		return r;
	}
	
	@SuppressWarnings("unchecked")
	private void sink(int parent){
		int child = parent*2;
		while(child <= size){
			if(child + 1 <= size){
				int r = cmp.compare((T)element[pq[child]], (T)element[pq[child+1]]);
				child = r > 0 ? child+1 : child;
			}
			
			if(cmp.compare((T)element[pq[child]], (T)element[pq[parent]]) < 0){
				swap(pq, parent, child);
				swap(qp, pq[parent], pq[child]);
				parent = child;
				child = parent*2;
			}else{
				break;
			}
		}
	}
	
	public void change(int k, T t){
		k++;
		if(qp[k] == -1){
			throw new IllegalArgumentException();
		}
		element[k] = t;
		swim(qp[k]);
		sink(qp[k]);
	}
	
	public int size(){
		return size;
	}
	
	public boolean isEmpty(){
		return size == 0;
	}
	
	public static void main(String[] args){
		IndexPriorityQueue<String> ipq = new IndexPriorityQueue<String>(11, null);
		ipq.enqueue(0, "k");
		ipq.enqueue(6, "d");
		ipq.enqueue(3, "f");
		ipq.enqueue(4, "c");
		ipq.enqueue(0, "a");
		
		while(!ipq.isEmpty()){
			System.out.println(ipq.dequeue());
		}
	}
}

4. 參考內容

[1]. 演算法（第4版）Robert Sedgewick 人民郵電出版社