上面第2小節學習簡單介紹了利用B樹這種結構如何訪問外存磁碟中的資料的情況，下面咱們通過另外一個例項來對這棵B樹的插入（insert）,刪除（delete）基本操作進行詳細的介紹。

    但在此之前，咱們還得簡單回顧下一棵m階的B 樹 (m叉樹)的特性，如下：

1.    樹中每個結點含有最多含有m個孩子，即m滿足：ceil(m/2)<=m<=m。

2.    除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函式）；

3.    若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結點，即根結點為葉子結點，整棵樹只有一個根節點）；

4.    所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字資訊(可以看做是外部接點或查詢失敗的接點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指標都為null)；

5.    每個非終端結點中包含有n個關鍵字資訊： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：

      a)   Ki (i=1...n)

為關鍵字，且關鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。

       b)   Pi為指向子樹根的接點，且指標P(i-1)指向子樹種所有結點的關鍵字均小於Ki，但都大於K(i-1)。 

       c)  

除根結點之外的結點的關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1（葉子結點也必須滿足此條關於關鍵字數的性質，根結點除外）。

      那好！下面咱們以一棵5階（即樹中任一結點至多含有4個關鍵字，5棵子樹）B樹例項進行講解(如下圖所示)：

備註：

1.    關鍵字數（2-4個）針對--非根結點（包括葉子結點在內），孩子數（3-5個）--針對根結點和葉子結點之外的內結點。當然，根結點是必須至少有2個孩子的，不然就成直線型搜尋樹了。

2.    曾在一次面試中被問到，一棵含有N個總關鍵字數的m階的B樹的最大高度是多少?答曰：log_ceil（m/2）N （上面中關於m階B樹的第1點特性已經提到：樹中每個結點含有最多含有m個孩子，即m滿足：ceil(m/2)<=m<=m。而樹中每個結點含孩子數越少，樹的高度則越大，故如此）。在2012微軟4月份的筆試中也問到了此問題。更多原理請看上文第3小節末：B樹的高度。

下圖中關鍵字為大寫字母，順序為字母升序。

結點定義如下：

typedef struct{ 
int Count; // 當前節點中關鍵元素數目 
ItemType Key[4]; // 儲存關鍵字元素的陣列 
long Branch[5]; // 偽指標陣列，(記錄數目)方便判斷合併和分裂的情況 
} NodeType;

如圖：

一.插入（insert）操作

    插入一個元素時，首先在B樹中是否存在，如果不存在，即在葉子結點處結束，然後在葉子結點中插入該新的元素，注意：如果葉子結點空間足夠，這裡需要向右移動該葉子結點中大於新插入關鍵字的元素，如果空間滿了以致沒有足夠的空間去新增新的元素，則將該結點進行“分裂”，將一半數量的關鍵字元素分裂到新的其相鄰右結點中，中間關鍵字元素上移到父結點中（當然，如果父結點空間滿了，也同樣需要“分裂”操作），而且當結點中關鍵元素向右移動了，相關的指標也需要向右移。如果在根結點插入新元素，空間滿了，則進行分裂操作，這樣原來的根結點中的中間關鍵字元素向上移動到新的根結點中，因此導致樹的高度增加一層。如下圖所示：

    1、OK，下面咱們通過一個例項來逐步講解下。插入以下字元字母到一棵空的B 樹中（非根結點關鍵字數小了（小於2個）就合併，大了（超過4個）就分裂）：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S，首先，結點空間足夠，4個字母插入相同的結點中，如下圖：

       2、當咱們試著插入H時，結點發現空間不夠，以致將其分裂成2個結點，移動中間元素G上移到新的根結點中，在實現過程中，咱們把A和C留在當前結點中，而H和N放置新的其右鄰居結點中。如下圖：

3、當咱們插入E,K,Q時，不需要任何分裂操作。 如圖：

4、插入M需要一次分裂，注意M恰好是中間關鍵字元素，以致向上移到父節點中。如圖：

 5、插入F,W,L,T不需要任何分裂操作。如圖：

       6、插入Z時，最右的葉子結點空間滿了，需要進行分裂操作，中間元素T上移到父節點中，注意通過上移中間元素，樹最終還是保持平衡，分裂結果的結點存在2個關鍵字元素。如圖：

       7、插入D時，導致最左邊的葉子結點被分裂，D恰好也是中間元素，上移到父節點中，然後字母P,R,X,Y陸續插入不需要任何分裂操作（別忘了，樹中至多5個孩子）。如圖：


 

       8、最後，當插入S時，含有N,P,Q,R的結點需要分裂，把中間元素Q上移到父節點中，但是情況來了，父節點中空間已經滿了，所以也要進行分裂，將父節點中的中間元素M上移到新形成的根結點中，注意以前在父節點中的第三個指標在修改後包括D和G節點中。這樣具體插入操作的完成，下面介紹刪除操作，刪除操作相對於插入操作要考慮的情況多點。如圖：

二. 刪除(delete)操作

（1）刪除操作的兩個步驟
   　 第一步驟：在樹中查詢被刪關鍵字K所在的地點
    　第二步驟：進行刪去K的操作

（2）刪去K的操作
    　B-樹是二叉排序樹的推廣，中序遍歷B-樹同樣可得到關鍵字的有序序列（具體遍歷演算法【參見練習】）。任一關鍵字K的中序前趨(後繼)必是K的左子樹(右子樹)中最右(左)下的結點中最後(最前)一個關鍵字。

    　若被刪關鍵字K所在的結點非樹葉，則用K的中序前趨(或後繼)K'取代K，然後從葉子中刪去K'。從葉子*x開始刪去某關鍵字K的三種情形為：

    　情形一：若x->keynum>Min，則只需刪去K及其右指標(*x是葉子，K的右指標為空)即可使刪除操作結束。

注意： Min=【M/2】-1

    　情形二：若x->keynum=Min，該葉子中的關鍵字個數已是最小值，刪K及其右指標後會破壞B-樹的性質(3)。若*x的左(或右)鄰兄弟結點*y中的關鍵字數目大於Min，則將*y中的最大(或最小)關鍵字上移至雙親結點*parent中，而將*parent中相應的關鍵字下移至x中。顯然這種移動使得雙親中關鍵字數目不變；*y被移出一個關鍵字，故其keynum減1，因它原大於Min，故減少1個關鍵字後keynum仍大於等於Min；而*x中已移入一個關鍵字，故刪K後*x中仍有Min個關鍵字。涉及移動關鍵字的三個結點均滿足B-樹的性質(3)。 請讀者驗證，上述操作後仍滿足B-樹的性質(1)。移動完成後，刪除過程亦結束。

    　情形三：若*x及其相鄰的左右兄弟(也可能只有一個兄弟)中的關鍵字數目均為最小值Min，則上述的移動操作就不奏效，此時須*x和左或右兄弟合併。不妨設*x有右鄰兄弟*y(對左鄰兄弟的討論與此類似)，在*x中刪去K後，將雙親結點*parent中介於*x和*y之間的關鍵字K，作為中間關鍵字，與並x和*y中的關鍵字一起"合併"為一個新的結點取代*x和*y。因為*x和*y原各有Min個關鍵字，從雙親中移人的K'抵消了從*x中刪除的K，故新結點中恰有2Min(即2「m/2」-2≤m-1)個關鍵字，沒有破壞B-樹的性質(3)。但由於K'從雙親中移到新結點後，相當於從*parent中刪去了K'，若parent->keynum原大於Min，則刪除操作到此結束；否則，同樣要通過移動*parent的左右兄弟中的關鍵字或將*parent與其 左右兄弟合併的方法來維護B-樹性質。最壞情況下，合併操作會向上傳播至根，當根中只有一個關鍵字時，合併操作將會使根結點及其兩個孩子合併成一個新的根，從而使整棵樹的高度減少一層。如圖: 
    　

 
     
  分析：
 　   第1個被刪的關鍵字h是在葉子中，且該葉子的keynum>Min(5階B-樹的Min=2)，故直接刪去即可。第2個刪去的r不在葉子中，故用中序後繼s取代r，即把s複製到r的位置上，然後從葉子中刪去s。第3個刪去的p所在的葉子中的關鍵字數目是最小值Min，但其右兄弟的keynum>Min，故可以通過左移，將雙親中的s移到p所在的結點，而將右兄弟中最小(即最左邊)的關鍵字t上移至雙親取代s。當刪去d時，d所在的結點及其左右兄弟均無多餘的關鍵字，故需將刪去d後的結點與這兩個兄弟中的一個(圖中是選擇左兄弟(ab))及其雙親中分隔這兩個被合併結點的關鍵字c合併在一起形成一個新結點(abce)。但因為雙親中失去c後keynum<Min，故必須對該結點做調整操作，此時它只有一個右兄弟，且右兄弟無多餘的關鍵字，不可能通過移動關鍵字來解決。因此引起再次合併，因根只有一個關鍵字，故合併後樹高度減少一層，從而得到上圖的最後一個圖。