四、浮點四則運算

  機器中的任何一個浮點數可以寫成

x=Sx⋅rjx$$x=S_x\cdot r^{j_x}$$的形式。其中Sx$S_x$為浮點數的尾數，一般為絕對值小於1的規格化數（補碼錶示時允許為-1），機器中可用原碼或補碼錶示；jx$j_x$為浮點數的階碼，一般為整數，機器中大多用補碼或移碼錶示；r為浮點數的基數，常用2、4、8或16表示。

1.浮點加減運算

  浮點數加減運算必須按以下幾步進行：

1. 對階，使兩數的小數點位置對齊。
2. 尾數求和，將對階後的兩尾數按定點加減運算規則求和（差）。
3. 規格化，為增加有效數字的位數，提高運算精度，必須將求和（差）後的尾數規格化。
4. 舍入，為提高精度，要考慮尾數右移時丟失的數值位。
5. 溢位判斷，即判斷結果是否溢位。

對階

  對階的目的是使兩運算元的小數點位置對齊，即使兩數的階碼相等。首先要求出階差，再按小階向大階看齊的原則，使階小的尾數向右移位，每右移一位，階碼加1，指導兩數的階碼相等為止。右移的次數正好等於階差。尾數右移時可能會發生數碼丟失，影響精度。

尾數求和

  將對階後的兩個尾數按定點加(減)運算規則進行運算。

規格化

  當基值r=2時，尾數S的規格化形式為12≤|S|<1$\frac{1}{2}\le |S|<1$  （4-1）
  如果採用雙符號位的補碼，則

當S>0$S>0$時，其補碼規格化形式為[S]補=00.1××…×$[$

S]補=00.1××…×  （4-2）
當S<0$S<0$時，其補碼規格化形式為[S]補=11.0××…×$[S{]}_{補}=11.0\times \times \dots \times$  （4-3）

  當尾數的最高數值位與符號位不同時，即為規格化形式。但對S<0時有兩種情況需要特殊處理：

1. S=−12$S=-\frac{1}{2}$，則[S]補=11.100…0$[S{]}_{補}=11.100\dots 0$。此時對於真值−12$-\frac{1}{2}$而言，它滿足(4-1)式，對於補碼而言，它不滿足式（4-3）。為了便於硬體判斷，特規定−12$-\frac{1}{2}$不是規格化的數（對於補碼而言）。
2. S=−1$S=-1$，則[S]補=11.00…0$[S{]}_{補}=11.00\dots 0$，因小數補碼允許表示-1，故-1視為規格化的數。

  規格化又分為左規和右規。

（1）左規

  當尾數出現00.0××…×$00.0\times \times \dots \times$或11.1××…×$11.1\times \times \dots \times$時，需要左規。左規時尾數左移一位，階碼減1，直到符合式子（4-2）或（4-3）為止。

（2）右規

  當尾數出現01.××…×$01.\times \times \dots \times$或10.××…×$10.\times \times \dots \times$時，表示尾數溢位，這在加減運算中是不允許的，但在浮點運算中這不算溢位，可通過右規處理。右規時尾數右移一位，階碼加1。

舍入

  在對階和右規的過程中，可能會將尾數的低位丟失，引起誤差，影響精度。為此可用舍入法來提高尾數的精度。常用的舍入方法有以下兩種：

  （1）“0舍1入”法
  在尾數右移時，被移去的最高數值位為0，則捨去；被移去的最高數值位為1，則在尾數的末位加1。這樣做可能使尾數又溢位，此時需再做一次右規。

  （2）“恆置1”法
  尾數右移時，不論丟掉的最高數值位是“1”或“0”，都使右移後的尾數末位恆置“1”。

溢位判斷

  與定點加減法一樣，浮點加減運算最後一步也需判斷溢位。當尾數之和出現01.××…×$01.\times \times \dots \times$或10.××…×$10.\times \times \dots \times$時，並不表示溢位，只有將此數右規後，再根據階碼來判斷浮點運算結果是否溢位。

  若機器數為補碼，尾數為規格化形式，並假設階符取2位，階碼的數值部分取7位，數符取2位，尾數的數值部分取n位，則它們能表示的補碼在數軸上的表示範圍如圖所示。

  它們所對應的真值如下：

  A最小負數  2+127×(−1)$2^{+127}\times (-1)$
  B最大正數  2+127×(1−2−n)$2^{+127}\times (1-2^{-n})$
  a最大負數  2−128×(−2−1−2−n)$2^{-128}\times (-2^{-1}-2^{-n})$
  b最小正數  2−128×2−1$2^{-128}\times 2^{-1}$

  a、b之間的陰影部分對應的階碼小於-128，這種情況稱為浮點數的下溢。下溢時，浮點數值趨於零，故機器不做溢位處理，僅把它當作機器零。
  A、B兩側的陰影部分對應的階碼大於+127，這種情況稱為浮點數的上溢。此時，浮點數真正溢位，機器需停止運算，作溢位中斷處理。一般說浮點溢位，均是指上溢。

  浮點機的溢位與否可由階碼的符號決定，即
  階碼[j]補=01，××…×$[j{]}_{補}=01，\times \times \dots \times$為上溢。
  階碼[j]補=10，××…×$[j{]}_{補}=10，\times \times \dots \times$為下溢，按機器零處理。

2.浮點乘除法運算

階碼運算

  若階碼用補碼運算，乘積的階碼為[jx]補+[jy]