二項佇列分析及實現

定義：

二項佇列不同於左式堆和二叉堆等優先佇列的實現之處在於，一個二項佇列不是一棵堆序的樹，而是堆序樹的集合，即森林。堆序樹中的每棵樹都是由約束形式的，叫做二項樹。每一個高度上至多存在一棵二項樹。高度為0的二項樹是一顆單節點樹，高度為k的二項樹Bk通過將一棵二項樹Bk-1附接到另一顆二項樹Bk-1的根上而構成。下圖顯示二項樹B0，B1，B2，B3以及B4。

二項佇列的複雜度

左堆的合併，插入，刪除最小的時間複雜度為O(logN)。二項佇列就是為了對這些結果進一步提高的一種資料結構。利用二項佇列，這三種操作的最壞時間複雜度為O(logN)，但是插入的平均時間複雜度為O(1)。

基本操作：
合併：
二項佇列的合併操作可以看做一個簡單的二進位制加法運算，從低位運算到高位。首先是兩個佇列的B0相加，如果兩個佇列都存在B0（二進位制為1），因此將兩個B0合併成一個B1樹，生成的B1樹當做進位，參與下一步的B1運算，直到運算到最高位結束。

刪除最小值/最大值：

刪除最小值首先要做的事情就是找到最小值。那麼只要尋找二項佇列對應的每一刻Bk樹的根節點中的最小值即可。然後把擁有最小值的Bk樹刪去根節點。此時剩下的樹為B0，B1...Bk-1樹。這些樹構成一個新的二項佇列，然後呼叫上述的合併操作，既可以完成刪除操作。

插入：

插入操作等同於合併操作，非常好完成。

編碼實現：

二項佇列定義：

在對二項佇列編碼之前，需要明白如何表示二項佇列。因為二項佇列的根節點所指向的節點可能是無限的，所以不能像二叉樹那樣使用兩個指標來指向兩個兒子（這裡有無數個兒子）。

具體的表示方式如下圖所示：

第一張圖代表我們畫出來的二項佇列。

第二張圖上半部分的陣列是指向樹節點的指標，即指向Bk的根節點。

每個樹節點有三個元素，Element，Leftchild， NextSibling。

其中NextSibling指的是和它本身同級的兄弟。如第一張圖中的B3，

12沒有同級兄弟，21,24,23互為同級兄弟，65,51,24互為同級兄弟。

那麼Leftchild元素指向誰呢，當然是指向有最多孩子的節點，提取出來就是B2的23節點了。

理解了這裡，在看第二張圖想必會明白多了。

合併：

合併操作的主要內容就是做二進位制加法運算，使用switch來進行判斷。具體到兩個Bk樹的合併非常的簡單，如下圖所示：

然較小的根節點變成新的根，另一個Bk成為它的左孩子，它原來的左孩子成為另一個Bk根節點的兄弟。

詳細程式碼：

標頭檔案：

typedeflong ElementType;
#define Infinity (30000L)
#ifndef _BinHeap_H
#define _BinHeap_H
#define MaxTrees (14) //二項佇列中的二項樹高度最大為13；
#define Capacity (16383) //高度0,1,2,3，...，13的二項樹節點數目之和
struct BinNode; //二項樹節點
typedefstruct BinNode *BinTree; //二項樹
struct Collection;
typedefstruct Collection *BinQueue;
BinQueue Initialize(void);
void Destroy( BinQueue H);
BinQueue MakeEmpty(BinQueue H);
BinQueue Insert(ElementType Item, BinQueue H);
ElementType DeleteMin(BinQueue H);
BinTree CombineTrees( BinTree T1, BinTree T2 ); //合併兩棵相同大小的樹
BinQueue Merge(BinQueue H1, BinQueue H2);
ElementType FindMin(BinQueue H);
int IsEmpty(BinQueue H);
int IsFull(BinQueue H);
#endif

原始檔：

#include "binomial.h"
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedefstruct BinNode *Position;
struct BinNode
{
ElementType Element;
Position LeftChild;
Position NextSibling;
};
struct Collection
{
int CurrentSize;
BinTree TheTrees[MaxTrees]; //陣列，該陣列每個元素都是一棵二項樹
};
BinQueue Initialize()
{
BinQueue H;
int i = 0;
H = malloc(sizeof(struct Collection));
if (H == NULL){
printf("Out of space!!\n");
return NULL;
}
H->CurrentSize = 0; //設定二項佇列初始大小為0，每棵二項樹均為NULL
for (i = 0; i < MaxTrees; ++i){
H->TheTrees[i] = NULL;
}
return H;
}
staticvoid DestroyTree(BinTree T)
{
//遞迴刪除二項樹的所有節點
if (T != NULL){
DestroyTree(T->LeftChild);
DestroyTree(T->NextSibling);
free(T);
}
}
void Destroy(BinQueue H)
{
//釋放二項佇列所佔空間：通過刪除所有的二項樹完成
int i = 0;
for (i = 0; i < MaxTrees; ++i){
DestroyTree(H->TheTrees[i]);
}
}
BinQueue MakeEmpty(BinQueue H)
{
int i = 0;
Destroy(H); //首先釋放H所佔空間
for (i = 0; i < MaxTrees; ++i){
H->TheTrees[i] = NULL;
}
H->CurrentSize = 0; //二項隊列當前大小
return H;
}
BinQueue Insert(ElementType Item, BinQueue H)
{
BinTree NewNode; //二項樹B0
BinQueue OneItem; //只有B0的二項佇列
NewNode = malloc(sizeof(struct BinNode));
if (NewNode == NULL){
printf("Out of space!\n");
return H;
}
NewNode->Element = Item;
NewNode->LeftChild = NewNode->NextSibling = NULL;
OneItem = Initialize();
OneItem->CurrentSize = 1;
OneItem->TheTrees[0] = NewNode;
return Merge(H, OneItem); //合併單節點的二項樹構成的二項佇列與H
}
ElementType FindMin(BinQueue H)
{
int i = 0;
ElementType MinItem;
if (IsEmpty(H)){
printf("Empty binomial queue");
return -1;
}
MinItem = Infinity;
//遍歷二項佇列中的所有二項樹，比較它們的根
for (i = 0; i < MaxTrees; ++i){
if (H->TheTrees[i] && H->TheTrees[i]->Element < MinItem){
MinItem = H->TheTrees[i]->Element;
}
}
return MinItem;
}
int IsEmpty(BinQueue H)
{
return H->CurrentSize == 0; //currentsize存放二項佇列中節點的個數
}
int IsFull(BinQueue H)
{
return H->CurrentSize == Capacity;
}
BinTree CombineTrees( BinTree T1, BinTree T2 )
{
//合併相同大小的兩顆二項樹
if (T1 == NULL)
return T2;
elseif (T2 == NULL)
return T1;
if (T1->Element > T2->Element)
return CombineTrees(T2, T1);
//根大的樹做為根小的樹的左兒子
T2->NextSibling = T1->LeftChild;
T1->LeftChild = T2;
return T1;
}
BinQueue Merge(BinQueue H1, BinQueue H2)
{
BinTree T1, T2, Carry = NULL;
int i = 0, j = 0;
//首先判斷合併是否會超出二項佇列限制的大小
if (H1->CurrentSize + H2->CurrentSize > Capacity){
printf("Merge would exceed capacity!\n");
return H1;
}
H1->CurrentSize += H2->CurrentSize;
//遍歷H1，H2中所有的二項樹
for (i = 0, j = 1; j <= H1->CurrentSize; ++i, j *= 2){
T1 = H1->TheTrees[i];
T2 = H2->TheTrees[i];
//若T1為空，!!T1則為0，否則為1
switch(!!T1 + 2* (!!T2) + 4 * (!!Carry)){
case 0:
case 1:
break;
case 2:
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