在計算 xⁿ 時，我們會怎麼算呢？如果只是x * x * x * ... * x 這樣每個數乘起來計算 n 次的的話，雖然演算法簡單，但是複雜度為 O(n) ，往往不能滿足要求。讓我們來考慮加速冪運算的方法。

如果 n = 2^k ，可以將其表示為  xⁿ = ((x²)²)... ，只要做 k 次平方運算就可以輕鬆求得。由此我們想到，先將 n 表示為2的冪次的和 n = 2^k1 + 2^k2 + 2^k3 + ... ，就有 xⁿ = x^{2^k1} x^{2^k2} x^{2^k3} ...

 1 typedef long long ll;
 2 
 3 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){
 4     ll res = 1;
 5     while(n>0){
 6         if(n&1) res = res * x % mod;  //
 
如果二進位制最低位為1，則乘上x^(2^i)
 7         x = x * x % mod;  //將x平方
 8         n >>= 1;
 9     }
10     return res;
11 }

程式碼還是很容易理解的，先把n轉化成二進位制表示，然後每一位開始依次計算。如果二進位制最低位為1，那麼就將結果乘上x^{2^i} ( i 的值取決於現在算到哪一位，如果是第0位則 i = 0）。每次將x平方，然後將n右移一位，繼續下一位的計算。比如計算x²²，就先把22轉化成10110，最低位是0，res不變，x變成x²，右移變成1011；最低位是1，res乘上x²

---------------------------------------------下面是另一種思路。--------------------------------------------------------------

當n為偶數時有 xⁿ = ((x²)^(n/2)) ，遞迴轉為n/2的情況；n為奇數時有 xⁿ = ((x²)^(n/2)) * x ，同樣也遞迴轉為 n/2 的情況。這樣不斷遞迴下去，每次n都減半，於是可以在O(logn)時間內完成冪運算。這個比第一種似乎更容易想到也更易理解，下面給出程式碼：

 1 typedef long long ll;
 2 
 3 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){
 4     if(n == 0) return 1;
 5     if(n == 1) return  x % mod;
 6     ll res = mod_pow(x * x % mod, n / 2, mod);
 7     if(n & 1)
 8         res = res * x % mod;
 9     return res;
10 }

還有一種非常類似的，f(x,n) = xⁿ，x為奇數那麼f(x,n) = f(x,n/2) * f(x,n/2) *x，x為偶數那麼f(x,n) = f(x,n/2) * f(x,n/2)。

1 ll f(int x,int n){
2     if(n==0) return 1;
3     if(n==1) return x;
4     if(n&1) return f(x,n>>1)*f(x,n>>1)*x;  //如果n是奇數
5     else return f(x,n>>1)*f(x,n>>1);   //如果n是偶數
6 }