正態分佈及matlab實現
正態分佈(Normal distribution)又名高斯分佈(Gaussian distribution),是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈,在統計學的許多方面有著重大的影響力。
若隨機變數X服從一個數學期望為μ、標準方差為σ2的高斯分佈,記為:
- X∼N(μ,σ2),
正態分佈的期望值μ決定了其位置,其標準差σ決定了分佈的幅度。因其曲線呈鐘形,因此人們又經常稱之為鐘形曲線。我們通常所說的標準正態分佈是μ = 0,σ = 1的正態分佈(見右圖中綠色曲線)。
[編輯]概要
正態分佈是自然科學與行為科學中的定量現象的一個方便模型。各種各樣的心理學測試分數和物理現象比如
[編輯]歷史
常態分佈最早是亞伯拉罕·棣莫弗在1734年發表的一篇關於二項分佈文章中提出的。拉普拉斯在1812年發表的《分析概率論》(Theorie Analytique des Probabilites)中對棣莫佛的結論作了擴充套件。現在這一結論通常被稱為棣莫佛-拉普拉斯定理。
拉普拉斯在誤差分析試驗中使用了正態分佈。勒讓德於1805年引入最小二乘法這一重要方法;而高斯則宣稱他早在1794年就使用了該方法,並通過假設誤差服從正態分佈給出了嚴格的證明。
“鐘形曲線”這個名字可以追溯到Jouffret他在1872年首次提出這個術語"鐘形曲面",用來指代二元正態分佈(bivariate normal
這個分佈被稱為“正態”或者“高斯”正好是Stigler名字由來法則的一個例子,這個法則說“沒有科學發現是以它最初的發現者命名的”。
[編輯]正態分佈的定義
有幾種不同的方法用來說明一個隨機變數。最直觀的方法是概率密度函式,這種方法能夠表示隨機變數每個取值有多大的可能性。累積分佈函式是一種概率上更加清楚的方法,但是非專業人士看起來不直觀(請看下邊的例子)。還有一些其他的等價方法,例如cumulant、特徵函式、動差生成函式以及cumulant-生成函式。這些方法中有一些對於理論工作非常有用,但是不夠直觀。請參考關於概率分佈的討論。
[編輯]概率密度函式
四個不同引數集的概率密度函式(綠色線代表標準正態分佈)正態分佈的概率密度函式均值為μ 方差為σ2 (或標準差σ)是高斯函式的一個例項:
- 。
(請看指數函式以及π.)
如果一個隨機變數X服從這個分佈,我們寫作 X ~ N(μ,σ2). 如果μ = 0並且σ = 1,這個分佈被稱為標準正態分佈,這個分佈能夠簡化為
- 。
右邊是給出了不同引數的正態分佈的函式圖。
正態分佈中一些值得注意的量:
- 密度函式關於平均值對稱
- 平均值是它的眾數(statistical mode)以及中位數(median)
- 函式曲線下68.268949%的面積在平均值左右的一個標準差範圍內
- 95.449974%的面積在平均值左右兩個標準差2σ的範圍內
- 99.730020%的面積在平均值左右三個標準差3σ的範圍內
- 99.993666%的面積在平均值左右四個標準差4σ的範圍內
- 反曲點(inflection point)在離平均值的距離為標準差之處
[編輯]累積分佈函式
上圖所示的概率密度函式的累積分佈函式累積分佈函式是指隨機變數X小於或等於x的概率,用密度函式表示為
正態分佈的累積分佈函式能夠由一個叫做誤差函式的特殊函式表示:
標準正態分佈的累積分佈函式習慣上記為Φ,它僅僅是指μ = 0,σ = 1時的值,
將一般正態分佈用誤差函式表示的公式簡化,可得:
它的反函式被稱為反誤差函式,為:
該分位數函式有時也被稱為probit函式。probit函式已被證明沒有初等原函式。
正態分佈的分佈函式Φ(x)沒有解析表示式,它的值可以通過數值積分、泰勒級數或者漸進序列近似得到。
[編輯]生成函式
[編輯]動差生成函式
動差生成函式被定義為exp(tX)的期望值。
正態分佈的矩生成函式如下:
可以通過在指數函式內配平方得到。
[編輯]特徵函式
特徵函式被定義為exp(itX)的期望值,其中i是虛數單位. 對於一個正態分佈來講,特徵函式是:
把矩生成函式中的t換成it就能得到特徵函式。
[編輯]性質
正態分佈的一些性質:
- 如果且a與b是實數,那麼aX + b∼N(aμ + b,(aσ)2) (參見期望值和方差).
- 如果與是統計獨立的正態隨機變數,那麼:
- 它們的和也滿足正態分佈 (proof).
- 它們的差也滿足正態分佈.
- U與V兩者是相互獨立的。
- 如果和是獨立正態隨機變數,那麼:
- 它們的積XY服從概率密度函式為p的分佈
- 其中K0是貝塞爾函式(modified Bessel function)
- 它們的比符合柯西分佈,滿足X / Y∼Cauchy(0,σX / σY).
- 它們的積XY服從概率密度函式為p的分佈
- 如果為獨立標準正態隨機變數,那麼服從自由度為n的卡方分佈。
[編輯]標準化正態隨機變數
[編輯]矩(英文:moment)
一些正態分佈的一階動差如下:
階數 | 原點矩 | 中心矩 | 累積量 |
---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | |
1 | μ | 0 | μ |
2 | μ2 + σ2 | σ2 | σ2 |
3 | μ3 + 3μσ2 | 0 | 0 |
4 | μ4 + 6μ2σ2 + 3σ4 | 3σ4 | 0 |
正態分佈的所有二階以上的累積量為零。
[編輯]生成正態隨機變數
[編輯]中心極限定理
正態分佈的概率密度函式,引數為μ = 12,σ = 3,趨近於n = 48、p = 1/4的二項分佈的概率質量函式。正態分佈有一個非常重要的性質:在特定條件下,大量統計獨立的隨機變數的和的分佈趨於正態分佈,這就是中心極限定理。中心極限定理的重要意義在於,根據這一定理的結論,其他概率分佈可以用正態分佈作為近似。
- 引數為n和p的二項分佈,在n相當大而且p不接近1或者0時近似於正態分佈(有的參考書建議僅在np與n(1 − p)至少為5時才能使用這一近似)。
近似正態分佈平均數為μ = np且方差為σ2 = np(1 − p).
- 一泊松分佈帶有引數λ當取樣樣本數很大時將近似正態分佈λ.
近似正態分佈平均數為μ = λ且方差為σ2 = λ.
這些近似值是否完全充分正確取決於使用者的使用需求
[編輯]無限可分性
正態分佈是無限可分的概率分佈。
[編輯]穩定性
正態分佈是嚴格穩定的概率分佈。
[編輯]標準偏差
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