On a horizontal number line, we have gas stations at positions stations[0], stations[1], ..., stations[N-1], where N = stations.length.

Now, we add K more gas stations so that D, the maximum distance between adjacent gas stations, is minimized.

Return the smallest possible value of D.

Example:

Input: stations = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10], K = 9
Output: 0.500000

Note:

1. stations.length will be an integer in range [10, 2000].
2. stations[i] will be an integer in range [0, 10^8].
3. K will be an integer in range [1, 10^6].
4. Answers within 10^-6 of the true value will be accepted as correct.

這道題說給了我們n個加油站，兩兩之間相距不同的距離，然後我們可以在任意地方新加K個加油站，問能使得任意兩個加油站之間的最大距離的最小值是多少。乍眼一看，感覺很繞，一會兒最大，一會兒最小的。其實我們可以換個場景，比如n個人站一隊，每兩個人之間距離不同，有的人之間距離可能很大，有的人可能捱得很近。我們現在需要再加入K個人到佇列中，我們希望人與人之間的距離儘可能小，所以新人就應該加入到距離大的地方，然後問我們加入K個人後，求人與人之間的最大距離。這麼一說，是不是清晰一點了呢。博主最開始看到這個加油站的題，以為跟之前那道

[10, 19, 25, 27, 56, 63, 70, 87, 96, 97]，K = 3

其兩兩之間的距離為：

9，6，2，29，7，7，17，9，1

如果按照博主前面所說的方法，會先將29分開，變成兩個14.5，然後會將17分開，變成兩個8.5，還剩一個加油站，會將其中一個14.5分開，變成兩個7.25。但是這樣弄下來，最大的距離還是14.5，而實際上我們有更好的辦法，我們用兩個加油站將29三等分，會變成三個9.67，然後用剩下的一個去分17，得到兩個8.5，此時最大距離就變成了9.67，這才是最優的解法。這說明了博主那種圖樣圖森破的貪婪演算法並不work，缺乏對Hard題目的尊重。

後來看了官方解答貼中的解法，發現用DP會記憶體超標MLE，用堆會時間超標TLE。其實這道題的正確解法是用二分搜尋法，博主第一反應是，還有這種操作！！？？就是有這種操作！！！這道題使用的二分搜尋法是博主歸納總結帖LeetCode Binary Search Summary 二分搜尋法小結中的第四種，即二分法的判定條件不是簡單的大小關係，而是可以抽離出子函式的情況，下面我們來看具體怎麼弄。如果光說要用二分法來做，那麼首先就要明確的是二分法用來查詢什麼，難道是用來查詢要插入加油站的位置嗎？很顯然不是，其實是用來查詢那個最小的任意兩個加油站間的最大距離。這其實跟之前那道Kth Smallest Element in a Sorted Matrix非常的類似，那道題的二分搜尋也是直接去折半定位所求的數，然後再來驗證其是否真的符合題意。這道題也是類似的思路，題目中給了數字的範圍[0, 10^8]，那麼二分查詢的左右邊界值就有了，又給了誤差範圍10^-6，那麼只要right和left差值大於這個閾值，就繼續迴圈。我們折半計算出來的mid就是一個candidate，我們要去驗證個candidate是否符合題意。驗證的方法其實也不難，我們計算每兩個加油站之間的距離，如果此距離大於candidate，則計數器累加1，如果大於candidate距離的個數小於等於k，則說明我們的candidate偏大了，那麼right賦值為mid；反之若大於candidate距離的個數大於k，則說明我們的candidate偏小了，那麼left賦值為mid。最後left和right都會收斂為所要求的最小的任意兩個加油站間的最大距離，是不是很神奇呀！！Amazing！！參見程式碼如下：

解法一：

class Solution {
public:
    double minmaxGasDist(vector<int>& stations, int K) {
        double left = 0, right = 1e8;
        while (right - left > 1e-6) {
            double mid = left + (right - left) / 2;
            if (helper(stations, K, mid)) right = mid;
            else left = mid;
        }
        return left;
    }
    bool helper(vector<int>& stations, int K, double mid) {
        int cnt = 0, n = stations.size();
        for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
            cnt += (stations[i + 1] - stations[i]) / mid;
        }
        return cnt <= K;
    }
};

我們也可以把上面解法中的子函式揉到主函式裡面，這樣可以是的程式碼更加的簡潔，參見程式碼如下：

解法二：

class Solution {
public:
    double minmaxGasDist(vector<int>& stations, int K) {
        double left = 0, right = 1e8;
        while (right - left > 1e-6) {
            double mid = left + (right - left) / 2;
            int cnt = 0, n = stations.size();
            for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
                cnt += (stations[i + 1] - stations[i]) / mid;
            }
            if (cnt <= K) right = mid;
            else left = mid;
        }
        return left;
    }
};

類似題目：

參考資料：