數論進階-常見數論函式

參考資料：洛谷2018網校夏季省選基礎班SX-3數論進階課程及課件

一、數論函式的定義

數論函式指定義域為正整數集的函式

二、積性函式與完全積性函式

2.1 數論函式的定義

對於一個數論函式 \(f(x)\)，若 \(\forall~a,b~\in~Z^+,s.t.~~a~\perp~b\) 滿足 \(f(ab)~=~f(a)~\times~f(b)\)，則稱 \(f(x)\) 為一個積性函式

若 \(\forall~a,b~\in~Z^+\)，都有 \(f(ab)~=~f(a)~\times~f(b)\)，則稱 \(f(x)\) 是一個完全積性函式

2.2 積性函式的性質

若 \(f(x)\) 是一個積性函式，且 \(x\) 的唯一分解式為 \(x~=~p_{1}^{c_1}~p_{2}^{c_2}~\dots~p_k^{c_k}\)，則 \(f(x)~=~\prod_{i=1}^{k}~f(p_i^{c_i})\)

對於證明，顯然每一項之間互質，於是按照積性函式的定義即可證明

注意這個性質是 \(f(x)\) 是積性函式的充要條件

三、簡單的常見數論函式

3.1 尤拉函式

設 \(\phi(x)\) 為在模 \(x\) 域下的簡化剩餘系大小，稱為尤拉函式，顯然尤拉函式是一個數論函式。並且尤拉函式是一個積性函式。

證明留作作業我不會

3.2 么元函式

么元函式 \(e(x)~=~[x~=~1]\)。我們約定中括號返回一個布林量，中括號內表示式為真返回\(1\)，否則返回\(0\)

3.3 常函式 1

常函式 \(one(x)~=~1\)。不管自變數如何取值函式值恆為 \(1\)

3.4 標號函式

標號函式 \(id(x)~=~x\)。即返回自變數本身

3.5 除數函式

\(\sigma(k,x)~=~\sum_{d \mid x} d^k\)

當 \(k~=~1\) 時，該函式表示 \(x\) 的因子之和

當 \(k~=~0\) 時，該函式表示 \(x\) 的因子個數。

當 \(k\) 省略時預設為 \(1\)

容易證明上面五個函式都是積性函式，除第一個和第五個外都是完全積性函式

四、莫比烏斯函式

4.1 莫比烏斯函式的定義

約定莫比烏斯函式的符號為 \(\mu\)。以下設 \(x\) 的唯一分解式為 \(x~=~p_{1}^{c_1}~p_{2}^{c_2}~\dots~p_k^{c_k}\)。

則莫比烏斯函式為

\[\mu(x)~=~\begin{cases} 1 &\ x~=~1\\ (-1)^m &\ \forall i~\in[1,k],c_i~=~1\\ 0 &\ otherswise \end{cases}\]

顯然 \(\mu(x)~=~\prod_{i=1}^k \mu(p_{i}^{c_i})\)

於是莫比烏斯函式是一個積性函式。容易驗證它不是一個完全積性函式。

4.2 性質

\(\sum_{d \mid n}\mu(d)~=~[n~=~1]\)

證明

\(n~=~1\) 時顯然成立，下證 \(n~\neq~1\) 的情況

設 \(n\) 的唯一分解式為 \(n~=~\prod_{i=1}^k p_{i}^{c_i}\)

設 \(n_0~=~\prod_{i=1}^{k} p_i\)。即 \(n_0\) 是 \(n\) 最大的不含平方因子的因數

\(\forall d\mid n~\land~\mu(d)~\neq~0\) 顯然 \(d \mid n_0\)

當 \(d\) 不含 \(n\) 的質因子 \(p_0\) 時，有

\[\mu(dp_0)~=~\mu(d)~\times~\mu(p_0)~=~-\mu(d)\]

考慮非 \(n_0\) 的因子的數，因為含有平方因子，對答案都沒有貢獻，於是有

\[\sum_{d \mid n} \mu(d)~=~\sum_{d \mid~n_0} \mu(d)\]

我們將這些數 \(d\) 分成兩類，第一類含有 \(p_0\) ，第二類不含 \(p_0\)。顯然這兩類有一一對應關係。因為第一類的每個數乘 \(p_0\) 就可以得到第二類中的所有數

於是

\[\sum_{d \mid n} \mu(d)~=~\sum_{d \mid~n_0} \mu(d)~=~\sum_{d \mid \frac{n_0}{p_0}} (\mu(d)+\mu(dp_0))~=~~\sum_{d \mid \frac{n_0}{p_0}} (\mu(d)-\mu(d))~=~0\]

證畢

五、狄利克雷卷積

5.1 狄利克雷卷積的定義

設 \(f\) 和 \(g\) 都是數論函式，定義 \(f\) 和 \(g\) 的狄利克雷卷積為 \(h\)，記為 \(h~=~f*g\)

定義 \(h(z)~=~\sum_{x \times y = z} f(x)~\times~g(y)\)

顯然狄利克雷卷積擁有交換律和結合律以及乘法對加法的分配律

5.2 函式的積性

若 \(f\) 和 \(g\) 都是積性函式，則 \(h\) 為積性函式

證明：

設 \(n\) 的唯一分解式為 \(n~=~\prod_{i=1}^k p_{i}^{c_i}\)

於是有

\[\begin{align} h(n)~ & =~\sum_{i_1=0}^{c_1}~\sum_{i_2 = 0}^{c_2}~\dots~\sum_{i_k=0}^{c_k} (f(\prod_{j=1}^k p_j^{i_j})~\times~g(\prod_{j=1} p_j^{c_j-i_j}))~~(定義)\\ & =~\sum_{i_1=0}^{c_1}~\sum_{i_2 = 0}^{c_2}~\dots~\sum_{i_k=0}^{c_k} (\prod_{j=1}^k f(p_{j}^{i_j})~\times~g(p_{j}^{c_j-i_j}))~~(積性函式的性質)\\ & =~\prod_{s=1}^{k}~\sum_{i_s=0}^{c_s} (f(p_s^{i_s})~\times~g(p_s^{c_s-i_s}))~~(求和變換)\\ & =~\prod_{s=1}^{k} h(p_s^{c_s})~~(狄利克雷卷積的定義) \end{align} \]

根據積性函式的性質，狄利克雷卷積為一個積性函式

5.3 對因數求和函式的可卷性 \((5.3.1)\)

若 \(g(n)~=~\sum_{d \mid n} f(d)\)，則 \(g~=~f*one\)。其中 \(one\) 為常函式 \(1\)

證明上，依照狄利克雷卷積的定義，等價於每一項都乘 \(1\)，對答案不產生影響。

5.4 常見數論函式的狄利克雷卷積

5.4.1莫比烏斯函式

莫比烏斯函式的性質

\[\sum_{d \mid n} \mu(d)~=~0\]

可以改寫為

\[\mu~*~one~=~e\]

\(e\) 為前文提到的么元函式

5.4.2尤拉函式

有性質

\[\phi~*~one~=~id\]

即

\[\sum_{d \mid n} \phi(d)~=~n\]

證明：

引理(5.4.2.1)：

\(\forall~p~\)為質數，\(r~\in~Z^+\)，都有\(\phi(p^r)~=~(p-1)~\times~p^{r-1}\)。

證明：

由於\(p\)是一個質數，所以\(~1~\sim~(p^r-1)~\)中有且僅有\(i~\times~p,~i~\in~(0,p^{r-1})~\)與\(p^r\)互質。

於是\(\phi(p^r)~=~p^r~-~p^{r-1}~=~p^{r-1}~\times~(p~-~1)~\)。

引理證畢。

欲證原式，即證

\[\sum_{d \mid p^k} \phi(d)~=~p^k\]

考慮 \(p^k\) 的因子有且僅有 \(p^s~,~s~\in~[0,k]\)

於是欲證上式即證

\[\sum_{i=0}^{k} \phi(p^i)\]

根據引理，上式正確性顯然。

證畢

5.5 例題

給定積性函式 \(f\) 和 \(g\)，求 \(f*g\) 的前 \(n\) 項

列舉直接暴力列舉 \(f\) 的前 \(n\) 項，然後列舉 \(g\) 的對應項。假如計算 \(f_i~\times~g_j\) 的貢獻，則一定滿足 \(i~\times~j~\leq~n\)，於是 \(j~\leq~\frac{n}{i}\)。根據調和級數，複雜度 \(O(n \log n)\)