Given an integer array, return the k-th smallest distance among all the pairs. The distance of a pair (A, B) is defined as the absolute difference between A and B.

Example 1:

Input:
nums = [1,3,1]
k = 1
Output: 0 
Explanation:
Here are all the pairs:
(1,3) -> 2
(1,1) -> 0
(3,1) -> 2
Then the 1st smallest distance pair is (1,1), and its distance is 0.

Note:

1. 2 <= len(nums) <= 10000.
2. 0 <= nums[i] < 1000000.
3. 1 <= k <= len(nums) * (len(nums) - 1) / 2.

這道題給了我們一個數組，讓我們找第k小的數對兒距離，數對兒距離就是任意兩個數字之間的絕對值差。那麼我們先來考慮最暴力的解法，是不是就是遍歷任意兩個數字，算出其絕對值差，然後將所有距離排序，取第k小的就行了。But，OJ搖著頭說圖樣圖森破。但是我們可以在純暴力搜尋的基礎上做些優化，從而讓OJ說YES。那麼下面這種利用了桶排序的解法就是一種很好的優化，題目中給了數字的大小範圍，不會超過一百萬，所以我們就建立一百萬個桶，然後還是遍歷任意兩個數字，將計算出的距離放到對應的桶中，這裡桶不是存的具體距離，而是該距離出現的次數，桶本身的位置就是距離，所以我們才建立了一百萬個桶。然後我們就可以從0開始遍歷到一百萬了，這樣保證了我們先處理小距離，如果某個距離的出現次數大於等於k了，那麼我們返回這個距離，否則就用k減去這個距離的出現次數，參見程式碼如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int smallestDistancePair(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size(), N = 1000000;
        vector<int> cnt(N, 0);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                ++cnt[abs(nums[i] - nums[j])];
            }
        }
        
 
for (int i = 0; i < N; ++i) {
            if (cnt[i] >= k) return i;
            k -= cnt[i];
        }
        return -1;
    }
};

上面的解法雖然逃脫了OJ的魔掌，但也僅僅是險過，並不高效。我們來看一種基於二分搜尋的解法。這道題使用的二分搜尋法是博主歸納總結帖LeetCode Binary Search Summary 二分搜尋法小結中的第四種，即二分法的判定條件不是簡單的大小關係，而是可以抽離出子函式的情況，下面我們來看具體怎麼弄。我們的目標是快速定位出第k小的距離，那麼很適合用二分法來快速的縮小查詢範圍，然而最大的難點就是如何找到判定依據來折半查詢，即如果確定搜尋目標是在左半邊還是右半邊。做過Kth Smallest Element in a Sorted Matrix和Kth Smallest Number in Multiplication Table這兩道題的同學應該對這種搜尋方式並不陌生。核心思想是二分確定一箇中間數，然後找到所有小於等於這個中間數的距離個數，用其跟k比較來確定折半的方向。具體的操作是，我們首先要給陣列排序，二分搜尋的起始left為0，結束位置right為最大距離，即排序後的數字最後一個元素減去首元素。然後進入while迴圈，算出中間值mid，此外我們還需要兩個變數cnt和start，其中cnt是記錄小於等於mid的距離個數，start是較小數字的位置，均初始化為0，然後我們遍歷整個陣列，先進行while迴圈，如果start未越界，並且當前數字減去start指向的陣列之差大於mid，說明此時距離太大了，我們增加減數大小，通過將start右移一個，那麼while迴圈退出後，就有i - start個距離小於等於mid，將其加入cnt中，舉個栗子來說：

   1    2    3    3    5

start              i

mid = 2

如果start在位置0，i在位置3，那麼以nums[i]為較大數可以產生三個（i - start）小於等於mid的距離，[1 3], [2 3], [3 3]，這樣當i遍歷完所有的數字後，所有小於等於mid的距離的個數就求出來了，即cnt。然後我們跟k比較，如果其小於k，那麼left賦值為mid+1，反之，則right賦值為mid。最終返回right或left均可，參見程式碼如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int smallestDistancePair(vector<int>& nums, int k) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        int n = nums.size(), left = 0, right = nums.back() - nums[0];
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2, cnt = 0, start = 0;
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                while (start < n && nums[i] - nums[start] > mid) ++start;
                cnt += i - start;
            }
            if (cnt < k) left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        return right;
    }
};

類似題目：

K-th Smallest Prime Fraction

參考資料：