Fisher線性判別分析

阿新 • • 發佈：2018-12-29

本文參考《模式識別》張學工
以二分類介紹
fisher線性判別：把所有樣本都投影到一個方向，然後在這個一維空間中確定一個分類閾值，而fisher要找的就是這個投影方向。
衡量投影方向的標準：選擇投影方向，使投影后兩類相鄰儘可能遠，同時每一類內部的樣本又儘可能近。
演算法推導
訓練樣本為{x1,x2,...,xN}每一個樣本是一個d維向量，即xi∈Rd,其中第一類的樣本樣本為{x11,x12,...,x1N1}，第二類樣本為{x21,x22,...,x2N2}。我們要尋找一個投影方向ω使投影后的樣本為

yi=ωTxi
在原來的樣本空間中，類別均值為mi=1Ni∑xj∈x(i)xj式中i = 1，2表示兩個類別，x(i)表示第i類的集合。定義各類內離散度矩陣為
S

i=∑xj∈x(i)(xi−mi)(xj−mi)T
總的類內離散度矩陣為Sw=S1+S2，類間複雜度矩陣定義為：
Sb=(m1−m2)(m1−m2)T
投影以後的一維空間裡，兩類的均值中將xi用yi替換，得到
m′i=wTmi
而類內複雜度此時是一個值
S′2i=∑yi∈y(i)(yi−m′i)2
類內總複雜度為S′w=S′1+S′2，而類間複雜度就變成了兩類均值差的平方S′b=(m′1−m′2)2
為了讓類內儘可能聚集，而類間儘可能離散，將這一目標表述為如下Fisher準則函式
maxJF(w)=S′bS′w
其中S′b=(m′1−m′2)2=(wTm

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