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0 - logistic分佈

如《統計學習方法》書上，設X是連續隨機變數，X服從logistic分佈是指X具有以下分佈函式和密度函式：

F(x)=P(X≤x)=11+e−(x−μ)/γ
f(x)=F′(x)=e−(x−μ)/γ1+e−(x−μ)/γ
其中μ是位置引數，γ是形狀引數，logistic分佈函式是一條S形曲線，該曲線以點(μ,12)為中心對稱，即：
F(−x+μ)−12=−F(x−μ)+12
γ引數越小，那麼該曲線越往中間縮，則中心附近增長越快

圖0.1 logistic 密度函式和分佈函式

1 - 二項logistic迴歸

我們通常所說的邏輯迴歸就是這裡的二項logistic迴歸，它有如下的式子：

hθ(x)=g(θTx)=11+e−θTx
這個函式叫做logistic函式，也被稱為sigmoid函式，其中xi∈Rn,yi∈{0,1}且有如下式子：
P(y=1|x;θ)=hθ(x)
P(y=0|x;θ)=1−hθ(x)
logP(y=1|x;θ)1−P(y=1|x;θ)=θTx
即緊湊的寫法為：
p(y|x;θ)=(hθ(x))y(1−hθ(x))1−y
基於m個訓練樣本，通過極大似然函式來求解該模型的引數：
L(θ)==∏i=1mp(y(i)|x(i);θ)∏i=1m(hθ(x(i)))y(i

)(1−hθ(x(i)))1−y(i)
將其轉換成log最大似然：
l(θ)==logL(θ)∑i=1my(i)logh(x(i))+(1−y(i))log(1−h(x(i)))
而該sigmoid函式的導數為：

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