@演算法 - [email protected] 多項式的多點求值與快速插值
阿新 • • 發佈：2018-12-30
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@0 - 參考資料@
@1 - 多點求值@
@理論推導@
假設已知多項式 \(A(x)\)，使用 FFT 可以將 \(A(w_n^0)\)，\(A(w_n^1)\)，...，\(A(w_n^{n-1})\) 的值在 \(O(n\log n)\) 的時間內快速求出。
那麼問題來了，假如我現在要求解任意的 \(A(x_0)\)
當然不是。
我們依照直覺把 \(x_{0\dots {n-1}}\) 分為兩個集合：
\[S_l=\{x_0,x_1,\dots x_{\frac{n}{2}}\}\\ S_r=\{x_{\frac{n}{2}+1},x_{\frac{n}{2}+2},\dots x_{n-1}\}\\\]
然後，記多項式 \(P_l(x)=\prod_{x_i\in S_L}(x-x_i)\)，並用 \(A(x)\) 除以 \(P_l(x)\)，得到：
\[A(x)=P_l(x)*Q(x)+R_l(x)\]
這樣當 \(x_i\in S_l\) 時，\(P_l(x_i)=0\)，\(A(x_i) = R_l(x_i)\)。
同理我們可以對 \(S_r\) 進行相應的處理。
問題轉換為 \(S_l\) 對 \(R_l(x)\) 求值，\(S_r\) 對 \(R_r(x)\) 求值。
然後就可以分治了。到底層時 \(R(x)\) 就是一個常數，可以直接賦值。
\(P_l(x)\) 與 \(P_r(x)\) 可以利用類線段樹的方法處理與儲存下來。
一個細節：如果 \(A(x)\) 的最高次數高於 \(\prod_{x=0}^{N-1}(x-x_i)\)，則先 \(A(x)\) 模一下 \(\prod_{x=0}^{N-1}(x-x_i)\)
複雜度為 \(O(n\log^2n)\)。
@參考程式碼@
本程式碼為 luoguP5050 的 AC 程式碼。
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int G = 3;
const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 64000*10;
int pow_mod(int b, int p) {
int ret = 1;
while( p ) {
if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;
b = 1LL*b*b%MOD;
p >>= 1;
}
return ret;
}
struct Polynomial{
void poly_copy(int *A, int *B, int n) {
for(int i=0;i<n;i++)
A[i] = B[i];
}
void poly_clear(int *A, int l, int r) {
for(int i=l;i<r;i++)
A[i] = 0;
}
void poly_revcopy(int *A, int *B, int n) {
for(int i=0;i<n;i++)
A[i] = B[n-i-1];
}
void ntt(int *A, int n, int type) {
for(int i=0,j=0;i<n;i++) {
if( i < j ) swap(A[i], A[j]);
for(int l=(n>>1);(j^=l)<l;l>>=1);
}
for(int s=2;s<=n;s<<=1) {
int t = (s>>1);
int u = (type == -1) ? pow_mod(G, (MOD-1) - (MOD-1)/s) : pow_mod(G, (MOD-1)/s);
for(int i=0;i<n;i+=s) {
for(int j=0,p=1;j<t;j++,p=1LL*p*u%MOD) {
int x = A[i+j], y = 1LL*p*A[i+j+t]%MOD;
A[i+j] = (x + y)%MOD, A[i+j+t] = (x + MOD - y)%MOD;
}
}
}
if( type == -1 ) {
int inv = pow_mod(n, MOD-2);
for(int i=0;i<n;i++)
A[i] = 1LL*A[i]*inv%MOD;
}
}
int tmp1[MAXN + 5], tmp2[MAXN + 5], tmp3[MAXN + 5];
void poly_mul(int *A, int *B, int *C, int n, int m) {
int len; for(len = 1;len < n+m-1;len <<= 1);
poly_copy(tmp1, A, n); poly_clear(tmp1, n, len);
poly_copy(tmp2, B, m); poly_clear(tmp2, m, len);
ntt(tmp1, len, 1); ntt(tmp2, len, 1);
for(int i=0;i<len;i++) tmp3[i] = 1LL*tmp1[i]*tmp2[i]%MOD;
ntt(tmp3, len, -1); poly_copy(C, tmp3, n+m-1);
}
void poly_inv(int *A, int *B, int n) {
if( n == 1 ) {
B[0] = pow_mod(A[0], MOD-2);
return ;
}
int len; for(len = 1;len < (n<<1);len <<= 1);
poly_inv(A, B, (n + 1) >> 1);
poly_copy(tmp3, A, n); poly_clear(tmp3, n, len);
ntt(tmp3, len, 1); ntt(B, len, 1);
for(int i=0;i<len;i++) B[i] = 1LL*B[i]*(2 + MOD - 1LL*tmp3[i]*B[i]%MOD)%MOD;
ntt(B, len, -1); poly_clear(B, n, len);
}
int tmp4[MAXN + 5], tmp5[MAXN + 5], tmp6[MAXN + 5];
void poly_divide(int *A, int *B, int *C, int *R, int n, int m) {
poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_clear(tmp5, 0, 2*(n-m+1)); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);
poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);
poly_revcopy(C, tmp6, n-m+1);
poly_copy(tmp4, C, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);
poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);
for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;
}
void poly_mod(int *A, int *B, int *R, int n, int m) {
if( n < m ) {
for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = A[i];
return ;
}
poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);
poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);
poly_revcopy(tmp4, tmp6, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);
poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);
for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;
poly_clear(tmp4, 0, n); poly_clear(tmp5, 0, n);
}
vector<int>P[MAXN + 5];
void poly_build(int *X, int x, int l, int r) {
if( l == r ) {
P[x].push_back(MOD-X[l]), P[x].push_back(1);
return ;
}
int mid = (l + r) >> 1;
poly_build(X, x<<1, l, mid), poly_build(X, x<<1|1, mid+1, r);
for(int i=0;i<P[x<<1].size();i++) tmp4[i] = P[x<<1][i];
for(int i=0;i<P[x<<1|1].size();i++) tmp5[i] = P[x<<1|1][i];
poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, P[x<<1].size(), P[x<<1|1].size());
for(int i=0;i<P[x<<1].size()+P[x<<1|1].size()-1;i++) P[x].push_back(tmp6[i]);
poly_clear(tmp4, 0, P[x<<1].size()), poly_clear(tmp5, 0, P[x<<1|1].size());
}
int tmp7[MAXN + 5], tmp8[25][MAXN + 5];
void poly_eval(int *A, int *Y, int dep, int n, int l, int r, int x) {
for(int i=0;i<P[x].size();i++) tmp7[i] = P[x][i];
poly_mod(A, tmp7, tmp8[dep], n, P[x].size());
if( l == r ) {
Y[l] = tmp8[dep][0];
return ;
}
int mid = (l + r) >> 1;
poly_eval(tmp8[dep], Y, dep+1, P[x].size()-1, l, mid, x<<1);
poly_eval(tmp8[dep], Y, dep+1, P[x].size()-1, mid+1, r, x<<1|1);
poly_clear(tmp8[dep], 0, P[x].size()-1);
}
}oper;
int f[MAXN + 5], a[MAXN + 5], g[MAXN + 5];
int main() {
int n, m; scanf("%d%d", &n, &m); n++;
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d", &f[i]);
for(int i=0;i<m;i++)
scanf("%d", &a[i]);
oper.poly_build(a, 1, 0, m-1);
oper.poly_eval(f, g, 0, n, 0, m-1, 1);
for(int i=0;i<m;i++)
printf("%d\n", g[i]);
}@例題與應用@
@快速插值@
就是下面那個東西，對，它就是多點求值的一個應用。
@2 - 快速插值@
@理論推導@
這個才是真正的毒瘤……
我們已知任意的 N+1 個點 \((x_0,y_0)\)，\((x_1,y_1)\)，...，\((x_N,y_N)\)，想要還原一個多項式 \(A(x)\) 使得 \(A(x_i)=y_i\)。
首先來看一個東西，拉格朗日插值：
\[f(x) = \sum_{i=0}^{N}(\dfrac{\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x-x_j)}{\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x_i-x_j)})*y_i\]
怎麼證明呢？其實比較簡單。首先證明其正確性：
記 \(P_i(x)=(\dfrac{\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x-x_j)}{\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x_i-x_j)})*y_i\)，
當 \(i = j\) 時，分子等於分母， \(P_i(x_j) = y_i\)；
當 \(i\not = j\) 時，分子等於零， \(P_i(x_j) = 0\)。
故 \(f(x_i)=\sum_{j=0}^{N}P_j(x_i)=y_i\)。
然後證明其唯一性，可以採用線性方程組的方法。
但是……我們如果暴力來化簡上面那個式子，時間複雜度就高上天了。
所以我們接下來就來亂搞一下。
首先求解分母的部分，即 \(\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x_i-x_j)\) 的值。
記 \(g(x) = \prod_{i=0}^N(x-x_i)\)，則我們相當於是求解：
\[\lim_{x->x_i}\dfrac{g(x)}{(x-x_i)}\]
當 \(x = x_i\) 時分母是等於 0 的，沒有意義，所以我們寫成極限的形式。
根據洛必達法則：
\[\lim_{x->x_i}\dfrac{g(x)}{(x-x_i)}=g'(x)\]
即我們相當於要求解 \(g'(x_0)\)，\(g'(x_1)\)，...，\(g'(x_N)\)，快速插值即可。
……我相信你們應該會一些簡單的微積分吧。
算了不重要，我繼續往下講。
【高能預警】下面的公式非常密集，請做好心理準備。
記 \(k_i = \dfrac{y_i}{\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x_i-x_j)}\)，分子已知，分母可以通過我們上邊的方法求解。
則原式變為：
\[f(x)=\sum_{i=0}^{N}k_i*(\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x-x_j))\]
記 \(P_l(x)=\prod_{i=0}^{\frac{N}{2}}(x-x_i)\)，\(P_r(x)=\prod_{i=\frac{N}{2}+1}^{N}(x-x_i)\)。
再記 \(f_l(x)=\sum_{i=0}^{\frac{N}{2}}k_i*(\prod_{j=0,j\not =i}^{\frac{N}{2}}(x-x_j))\)，\(f_r(x)=\sum_{i=\frac{N}{2}+1}^{N}k_i*(\prod_{j=\frac{N}{2}+1,j\not =i}^{N}(x-x_j))\)
則 \(f(x)\) 可以寫成：
\[f(x)=P_r(x)*f_l(x)+P_l(x)*f_r(x)\]
預處理出 \(P(x)\)，分治即可。最底層直接返回 \(k_i\)。
怎麼理解呢？對於 \(h_i(x) = k_i*(\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x-x_j))\)，它 “缺” \((x-x_i)\) 這一項。
對於 \(0\le i\le \frac{N}{2}\)，它們都不 “缺” \((x-x_j),\frac{N}{2}+1\le j\le N\) 這一項。
所以利用乘法分配律，就可以得到上面那個式子。
一個細節：多點求值用的 \(P(x)\) 與快速插值後面分治用的 \(P(x)\) 是同一個玩意兒，所以可以不用重複求解。
時間複雜度：\(O(n\log^2n)\)，常數極大。
@（不建議參考的）程式碼@
本程式碼為 luoguP5518 的 AC 程式碼
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int G = 3;
const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 100000*10;
int pow_mod(int b, int p) {
int ret = 1;
while( p ) {
if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;
b = 1LL*b*b%MOD;
p >>= 1;
}
return ret;
}
int inv[MAXN + 5];
void init() {
inv[1] = 1;
for(int i=2;i<=MAXN;i++)
inv[i] = 1LL*(MOD - MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
}
struct Polynomial{
void poly_copy(int *A, int *B, int n) {
for(int i=0;i<n;i++)
A[i] = B[i];
}
void poly_copy(int *A, vector<int> B) {
for(int i=0;i<B.size();i++)
A[i] = B[i];
}
void poly_clear(int *A, int l, int r) {
for(int i=l;i<r;i++)
A[i] = 0;
}
void poly_revcopy(int *A, int *B, int n) {
for(int i=0;i<n;i++)
A[i] = B[n-i-1];
}
void ntt(int *A, int n, int type) {
for(int i=0,j=0;i<n;i++) {
if( i < j ) swap(A[i], A[j]);
for(int l=(n>>1);(j^=l)<l;l>>=1);
}
for(int s=2;s<=n;s<<=1) {
int t = (s>>1);
int u = (type == -1) ? pow_mod(G, (MOD-1) - (MOD-1)/s) : pow_mod(G, (MOD-1)/s);
for(int i=0;i<n;i+=s) {
for(int j=0,p=1;j<t;j++,p=1LL*p*u%MOD) {
int x = A[i+j], y = 1LL*p*A[i+j+t]%MOD;
A[i+j] = (x + y)%MOD, A[i+j+t] = (x + MOD - y)%MOD;
}
}
}
if( type == -1 ) {
int inv = pow_mod(n, MOD-2);
for(int i=0;i<n;i++)
A[i] = 1LL*A[i]*inv%MOD;
}
}
int tmp1[MAXN + 5], tmp2[MAXN + 5], tmp3[MAXN + 5];
void poly_mul(int *A, int *B, int *C, int n, int m) {
int len; for(len = 1;len < n+m-1;len <<= 1);
poly_copy(tmp1, A, n); poly_clear(tmp1, n, len);
poly_copy(tmp2, B, m); poly_clear(tmp2, m, len);
ntt(tmp1, len, 1); ntt(tmp2, len, 1);
for(int i=0;i<len;i++) tmp3[i] = 1LL*tmp1[i]*tmp2[i]%MOD;
ntt(tmp3, len, -1); poly_copy(C, tmp3, n+m-1);
}
void poly_inv(int *A, int *B, int n) {
if( n == 1 ) {
B[0] = pow_mod(A[0], MOD-2);
return ;
}
int len; for(len = 1;len < (n<<1);len <<= 1);
poly_inv(A, B, (n + 1) >> 1);
poly_copy(tmp3, A, n); poly_clear(tmp3, n, len);
ntt(tmp3, len, 1); ntt(B, len, 1);
for(int i=0;i<len;i++) B[i] = 1LL*B[i]*(2 + MOD - 1LL*tmp3[i]*B[i]%MOD)%MOD;
ntt(B, len, -1); poly_clear(B, n, len);
}
int tmp4[MAXN + 5], tmp5[MAXN + 5], tmp6[MAXN + 5];
void poly_divide(int *A, int *B, int *C, int *R, int n, int m) {
poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_clear(tmp5, 0, 2*(n-m+1)); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);
poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);
poly_revcopy(C, tmp6, n-m+1);
poly_copy(tmp4, C, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);
poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);
for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;
}
void poly_mod(int *A, int *B, int *R, int n, int m) {
if( n < m ) {
for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = A[i];
return ;
}
poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);
poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);
poly_revcopy(tmp4, tmp6, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);
poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);
for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;
poly_clear(tmp4, 0, n); poly_clear(tmp5, 0, n);
}
vector<int>P[MAXN + 5];
void poly_build(int *X, int x, int l, int r) {
if( l == r ) {
P[x].clear(); P[x].push_back(MOD-X[l]), P[x].push_back(1);
return ;
}
int mid = (l + r) >> 1;
poly_build(X, x<<1, l, mid), poly_build(X, x<<1|1, mid+1, r);
poly_copy(tmp4, P[x<<1]), poly_copy(tmp5, P[x<<1|1]);
poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, P[x<<1].size(), P[x<<1|1].size()); P[x].clear();
for(int i=0;i<P[x<<1].size()+P[x<<1|1].size()-1;i++) P[x].push_back(tmp6[i]);
poly_clear(tmp4, 0, P[x<<1].size()), poly_clear(tmp5, 0, P[x<<1|1].size());
}
int tmp7[MAXN + 5], tmp8[25][MAXN + 5];
void poly_eval(int *A, int *Y, int dep, int n, int l, int r, int x) {
for(int i=0;i<P[x].size();i++) tmp7[i] = P[x][i];
poly_mod(A, tmp7, tmp8[dep], n, P[x].size());
if( l == r ) {
Y[l] = tmp8[dep][0];
return ;
}
int mid = (l + r) >> 1;
poly_eval(tmp8[dep], Y, dep+1, P[x].size()-1, l, mid, x<<1);
poly_eval(tmp8[dep], Y, dep+1, P[x].size()-1, mid+1, r, x<<1|1);
poly_clear(tmp8[dep], 0, P[x].size()-1);
}
void poly_dif(int *A, int *B, int n) {
for(int i=1;i<n;i++)
B[i-1] = 1LL*A[i]*i%MOD;
B[n-1] = 0;
}
void poly_itgr(int *A, int *B, int n) {
for(int i=n-1;i>=0;i--)
B[i+1] = 1LL*A[i]*inv[i+1]%MOD;
}
int tmp9[MAXN + 5], tmp10[MAXN + 5], tmp11[25][MAXN + 5], tmp12[MAXN + 5];
void poly_itplt(int *A, int dep, int x, int l, int r) {
poly_clear(A, 0, P[x].size());
if( l == r ) {
A[0] = tmp10[l];
return ;
}
int mid = (l + r) >> 1;
poly_itplt(tmp11[dep], dep+1, x<<1, l, mid);
poly_copy(tmp9, P[x<<1|1]); poly_mul(tmp9, tmp11[dep], tmp12, P[x<<1|1].size(), P[x<<1].size());
for(int i=0;i<P[x].size();i++) A[i] = (A[i] + tmp12[i])%MOD;
poly_itplt(tmp11[dep], dep+1, x<<1|1, mid+1, r);
poly_copy(tmp9, P[x<<1]); poly_mul(tmp9, tmp11[dep], tmp12, P[x<<1].size(), P[x<<1|1].size());
for(int i=0;i<P[x].size();i++) A[i] = (A[i] + tmp12[i])%MOD;
}
void poly_itplt(int *X, int *Y, int *A, int n) {
poly_build(X, 1, 0, n-1); poly_copy(tmp9, P[1]);
poly_dif(tmp9, tmp9, P[1].size());
poly_eval(tmp9, tmp10, 0, P[1].size()-1, 0, n-1, 1);
for(int i=0;i<n;i++) tmp10[i] = 1LL*Y[i]*pow_mod(tmp10[i], MOD-2)%MOD;
poly_itplt(A, 0, 1, 0, n-1);
}
}oper;
int x[MAXN + 5], y[MAXN + 5], f[MAXN + 5];
int main() {
int n; scanf("%d", &n);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
oper.poly_itplt(x, y, f, n);
for(int i=0;i<n;i++)
printf("%d ", f[i]);
}@例題與應用@（暫無）
這個東西……能夠應用？？？