目錄

• 基本形式
• 代價函式
• 用梯度下降法求\(\vec\theta\)
• 擴充套件

基本形式

邏輯迴歸是最常用的分類模型，線上性迴歸基礎之上擴充套件而來，是一種廣義線性迴歸。下面舉例說明什麼是邏輯迴歸：假設我們有樣本如下（是我程式設計生成的資料）：

我們要做的是找到一個決策邊界，把兩類樣本給分開，當有新資料進來時，就判斷它在決策邊界的哪一邊。設邊界線為線性函式
\[h_\theta(\vec x) = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 \tag {1}\]取0時的直線，如下圖：

我們的目標就是根據已知的樣本來確定\(\vec\theta\)

上圖中，處在邊界線左邊的為負例（帶入（1）式結果小於0），邊界線右邊的為正例（帶入（1）式結果大於0）。從概率的角度考慮：把一個點代入（1）式，如果為正，且越大越離邊界線遠，它是正例的概率就越大，直到接近1；相反，把一個點代入（1）式，如果為負，且越小離邊界線越遠，它是正例的概率就越小，直到接近0；此外，把一個點代入（1）式，如果結果正好等於0，那麼它在邊界線上，為正例和為負例的概率都是0.5。

為了用數學的方式精確表達上面的概率論述，前人找到一個好用的函式：
\[s(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} \tag{2}\]
這個函式叫做sigmoid（sigmoid：S形狀的）函式（下文用S(z)或s(z)表示sigmoid函式），樣子如下：

當\(z=0\)時，函式值為0.5，當\(z > 0\)時，函式取值\((0.5, 1)\)；當\(z < 0\)時，函式取值\((0, 0.5)\)，如果我們把欲判斷點代入決策邊界（1）式後得到的結果作為sigmoid函式的輸入，那麼輸出就可以表示該點是正例的概率，簡直完美。其實S型的函式應該還有別的，為什麼前人獨愛這個呢？那是因為，這個函求導比較簡單，用鏈式法則可以非常容易算出其導數式為：
\[\frac{d}{z}s(z)=s(z)(1 - s(z)) \tag{3}\]

simgiod函式求導過程：
\[\begin{align}\frac{d}{z}s(z)&=-\frac{1}{(1+e^{-z})^2}\cdot e^{-z} \cdot -1 \\ &=\frac{e^{-z}}{(1+e^{-z})^2}\\ &=\frac{1+e^{-z}-1}{(1+e^{-z})^2}\\ &=\frac{1+e^{-z}}{(1+e^{-z})^2} - \frac{1}{(1+e^{-z})^2}\\ &=s(z) - s(z)^2\\ &=s(z)(1-s(z)) \end{align}\]

第一步用了鏈式法則。

代價函式

邏輯迴歸的代價函式可由極大似然估計法得出。我們暫且不管極大似然估計法的證明，直觀地理解非常容易：如果你是一個班級的新老師，發現有個孩子考了95.5分，你肯定會認為這個孩子很可能是學霸，雖然學霸有時也會考低分，學渣有時也考高分，但是發生概率很小。更一般的敘述是：有若干事件A、B和C，已知其發生概率為分別為\(P(A|\theta)\)、\(P(B|\theta)\)和\(P(C|\theta)\)，如果我們觀察到A、B和C已經發生了，那麼我們就認為\(P(ABC|\theta)\)是個儘可能大的值，如果我們要求\(\theta\)，那麼\(\theta\)應該是使得\(P(ABC|\theta)\)最大的那個值。如果A、B和C互相獨立，我們所求的就是使得\(P(A|\theta)P(B|\theta)P(C|\theta)\)最大化的\(\theta\)。

設\(t_\theta(\vec x)=s(h_\theta(\vec x))\)已知：\[P(Y=y) = \begin{cases} t_\theta(\vec x), &\text{如果 y = 1} \\ 1 - t_\theta(\vec x), &\text{如果 y = 0} \end{cases}\]，寫到一起：
\[P(Y=y)=t_\theta(\vec x)^y(1-t_\theta(\vec x))^{1-y} \tag{4}\]，根據（4）式寫出極大似然函式：
\[l(\vec\theta)=\prod_{i=1}^mt_\theta(\vec x^{(i)})^{y^{(i)}}(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))^{1-y^{(i)}} \]，設代價函式\[j(\vec\theta)=-\frac{1}{m}\ln l(\vec\theta)\] ，最大化\(l(\vec\theta)\)即最小化\(j(\vec\theta)\)。求對數是為了方便計算，把乘法轉換為加法，把冪運算轉換為乘法，單調性不變；前面的負號是為了把求最大值問題轉換為求最小值問題，習慣上，應用梯度下降法時都是求最小值，不然叫“梯度上升了法”了，手動滑稽。當然，使用梯度下降法的前提條件是函式是凸的，大叔懶得證明了，這個函式就是個凸函式，不管你們信不信，我反正是信了。進一步對上式化解得：
\[j(\vec\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}\ln t_\theta(\vec x^{(i)}) + (1-y^{(i)})\ln(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))\right] \tag{5}\]

用梯度下降法求\(\vec\theta\)

將（5）式對\(\vec\theta\)求偏導：

• \(\frac{\partial}{\partial\theta_0}j(\vec\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_0^{(i)}\)
• \(\frac{\partial}{\partial\theta_1}j(\vec\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_1^{(i)}\)
• \(\cdots\)
• \(\frac{\partial}{\partial\theta_n}j(\vec\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_n^{(i)}\)

如果讀者對矩陣計算非常熟悉的話，應該可以看出，上式可以寫成矩陣形式，這樣計算更方便：
\[\frac{\partial}{\partial\vec\theta}=\frac{1}{m}X^T(T-Y)，其中，T=\begin{pmatrix}t_\theta(\vec x^{(1)})\\ t_\theta(\vec x^{(2)})\\ \vdots \\ t_\theta(\vec x^{(m)}) \end{pmatrix}\]

對\(j(\vec\theta)\)求導的過程如下，多次應用鏈式法則即可：
\[\begin{align} \frac{\partial}{\partial\theta_n}j(\vec\theta)&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}\frac{1}{t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x)^\prime+(1-y^{(i)})\frac{1}{1-t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x)^\prime\right]\\ &=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}\frac{1}{t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x^{(i)})(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))h_\theta(\vec x)^\prime+(1-y^{(i)})\frac{1}{1-t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x^{(i)})(t_\theta(\vec x^{(i)}) - 1)h_\theta(\vec x)^\prime\right]\\ &=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))h_\theta(\vec x)^\prime + (y^{(i)})t_\theta(\vec x^{(i)} - 1)h_\theta(\vec x)^\prime\right]\\ &=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))x_n^{(i)} + (y^{(i)})t_\theta(\vec x^{(i)} - 1)x_n^{(i)}\right]\\ &=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y^{(i)} - t_\theta(\vec x^{(i)}))x_n^{(i)}\\ &=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)}) - y^{(i)})x_n^{(i)} \end{align}\]

• 步驟1用到到了公式：\(\ln x^\prime = \frac{1}{x}\)
• 步驟2用到式（3）

有了偏導式後就可以程式設計了：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.e**(-z))

def draw_samples(X, Y, sample_count):
    ''' 繪製正負例. '''
    positiveX1 = []
    positiveX2 = []

    negativeX1 = []
    negativeX2 = []

    for i in range(sample_count):
        if Y[i, 0] == 1:
            positiveX1.append(X[i, 0])
            positiveX2.append(X[i, 1])
        else:
            negativeX1.append(X[i, 0])
            negativeX2.append(X[i, 1])
    
    plt.scatter(positiveX1, positiveX2, marker='+')
    plt.scatter(negativeX1, negativeX2, marker='.')

def draw_border(theta):
    '''繪製邊界線'''
    X = []
    Y = []
    for x in range(-2, 12):
        X.append(x)
        Y.append(-theta[0] / theta[2] - theta[1] / theta[2] * x )
    plt.plot(X, Y)

def create_samples(samples_count):
    ''' 生成樣本資料'''
    X = np.empty((samples_count, 2))
    Y = np.empty((samples_count, 1))

    for i in range(samples_count):
        x1 = np.random.randint(0, 10)
        x2 = np.random.randint(0, 10)
        y = 0
        if x1 + x2 - 10 > 0:
            y =1
        X[i, 0] = x1
        X[i, 1] = x2
        Y[i, 0] = y

        noise = np.random.normal(0, 0.1, (samples_count, 2))
        X += noise
    return X, Y

def grad(X, Y, samples_count, theta):
    ''' 求代價函式在theta處的梯度. '''
    T = sigmoid(np.dot(X, theta))
    g =  np.dot(X.T, (T - Y)) / samples_count
    return g

def descend(X, Y, samples_count, theta = np.array([[1],[1],[1]]), step = 0.01, threshold = 0.05):
    ''' 梯度下降.
        Args: 
            X: 樣本
            Y：樣本標記
            theta：初始值
            step：步長
            threshold：閾值
        Returns:
            theta：求出來的最優theta
    '''
    g = grad(X, Y, samples_count, theta)
    norm = np.linalg.norm(g)

    while norm > threshold:
        g = grad(X, Y, samples_count, theta)
        norm = np.linalg.norm(g)
        theta = theta - g * step
        print(norm)

    return theta

samples_count = 100
X, Y = create_samples(samples_count)
MatrixOnes = np.ones((100, 1))
X_with_noes = np.hstack((MatrixOnes, X)) # 新增等於1的x0
theta = descend(X_with_noes, Y, samples_count)

plt.xlabel('$x_1$')
plt.ylabel('$x_2$')

draw_samples(X, Y, samples_count)
draw_border(theta.flatten())
plt.show()

執行結果：

上面的程式碼中，我在樣本矩陣中增加了一列為1的元素，這樣做是為了計算方便，使得樣本矩陣的列數等於欲求\(\vec\theta\)的行數，滿足矩陣乘法的要求，加上這一列對結果沒有影響，請參考大叔學ML第二：線性迴歸

擴充套件

• 和線性迴歸一樣，邏輯迴歸也存在過擬合的情況，可以通過新增一範數、二範數正則化來解決
• 和線性迴歸一樣，邏輯迴歸的決策邊界可以是曲折的多項式，可參考大叔學ML第三：多項式迴歸，依葫蘆畫瓢來搞定決曲折的決策邊界
• 和線性迴歸一樣，邏輯迴歸也可以擴充套件到多餘3維的情況，只是不可以做可視化了，代數原理是一致的
• 和線性迴歸不一樣，邏輯迴歸應該沒有“正規方程”，大叔昨天按照線性迴歸的正規方程的推導思路推導並未得出結果，查資料也未果
• 除了梯度下降法，牛頓法和擬牛頓法也是迭代下降演算法，而且下降效率更好，大叔稍後將會寫一篇博文介紹之

祝元旦快樂！