【Dilworth定理】最長鏈覆蓋與最小鏈覆蓋
參考部落格，作者：xuzengqiang，來源：CSDN
首先了解一個東西：偏序關係。
偏序關係具體定義和分類
非嚴格偏序，自反偏序
【這個≤表示的是偏序關係，不是小於等於】
給定非空集合S，“≤”是S上的二元關係，若“≤”滿足：
-
自反性：∀a∈S，有a≤a；
-
反對稱性：∀a，b∈S，a≤b且b≤a，則a=b；
-
傳遞性：∀a，b，c∈S，a≤b且b≤c，則a≤c；
則稱“≤”是S上的非嚴格偏序或自反偏序。
嚴格偏序，反自反偏序
給定集合S，“<”是S上的二元關係，若“<”滿足：
-
反自反性
：∀a∈S，有a≮a； -
非對稱性：∀a，b∈S，a<b ⇒ b≮a；
-
傳遞性：∀a，b，c∈S，a<b且b<c，則a<c；
則稱“<”是S上的嚴格偏序或反自反偏序。
比方說：(A,≤)是偏序集，A={1,2,3},【偏序≤】表示在A上的【大於等於關係】。則有：≤={<3,3>,<3,2>,<3,1>,<2,2>,<2,1>,<1,1>},則有3≤2,2≤2,2≤1....
嚴格偏序與有向無環圖（dag）有直接的對應關係。一個集合上的嚴格偏序的關係圖就是一個有向無環圖。其傳遞閉包是它自己 。——【來自百度百科】
偏序關係舉例說明
舉如下例子說明偏序關係：
1、實數集上的小於關係是一個嚴格偏序。
2、設S是集合，P（S）是S的所有子集構成的集合，定義P（S）中兩個元素A≤B當且僅當A是B的子集，即A包含於B，則P（S）在這個關係下成為偏序集。
3、設N是正整數集，定義m≤n當且僅當m能整除n，不難驗證這是一個自反偏序——
【在正整數集中，任意的整數a，都滿足a|a。】
【若a|b，b|a，則a=b】
【若a|b，b|c，則a|c】
這個整除關係滿足這三條性質，它就是一個自反偏序。
例：(A,≤)是偏序集，其中A={1,2,3,4,5}，其中≤是整除關係，那麼對任意的x∈p都有1≤x,所以1和1,2,3,4,5都是可比的
極小元
偏序集中沒有與它可比較的更小的元素。設<A，R>是偏序集， 
，若不存在 
，使得 xRb 且 x≠b【R是偏序關係】，則b稱為<B，R>的極小元。對給定的<B，R>可以有一個或多個極小元，也可以沒有極小元。
鏈與反鏈
一個反鏈A是X的一個子集，它的任意兩個元素都不能進行比較。
一個鏈C是X的一個子集，它的任意兩個元素都可比。
舉個李子吧。
比如說一個上升序列，它的偏序關係就是：對於兩個數a[i],a[j]，滿足i<j且a[i]<a[j]。
比如這個序列：10,2,5,7,6,3,8，它有很多的子集。【下標從1到7】
隨便取一個它的子集，比如{2,5,7,6}，對於其中兩個元素7和6，因為7對應a[4]，6對應a[5]，它們的下標4<5，但是對應的值7>6，所以不能比較。而2和5又可以比較，因為滿足a[2]≤a[3]。那麼{2,5,7,6}這個集合既不是鏈也不是反鏈。
再隨便取一個子集，比如{2,7,8}，這個集合中任意兩個元素都可比，那麼這個集合就是一個鏈。
再看這個子集，{10,7,3}，這個集合中任意兩個元素都不可比，那麼它就是一個反鏈。
定理
【最小鏈覆蓋數 = 最長反鏈長度】
【最長鏈長度 = 最小反鏈覆蓋數】
下面是兩個重要定理：
定理1 令（X,≤）是一個有限偏序集，並令r是其最大鏈的大小。則X至少被劃分成r個反鏈。
其對偶定理稱為Dilworth定理：
定理2 令（X,≤）是一個有限偏序集，並令m是反鏈的最大的大小。則X至少被劃分成m個鏈。
證明
定理1證明：設p為最少反鏈個數
(1)先證明X不能劃分成小於r個反鏈。 由於r是最大鏈C的大小，C中任兩個元素都可比，因此C中任兩個元素都不能屬於同一反鏈。就是C中的元素都在不同的反鏈中。所以p>=r。
(2)設X1＝X，A1是X1中的極小元的集合。那麼A1就是一個反鏈。【因為如果A1中有兩個元素a，b，它們可比較，則必有一個比另一個小，但是A1是極小元集合，矛盾。】從X1中刪除A1得到X2。注意到對於X2中任意元素a2，必存在X1中的元素a1，使得a1<=a2。【如果X1中不存在a1使得a1<=a2，那麼根據極小元定義，a2就會被算進極小元集合A1裡】令A2是X2中極小元的集合，從X2中刪除A2得到X3……最終，會有一個Xk非空而X(k+1)為空。於是A1,A2,...,Ak就是X的反鏈的劃分，同時存在鏈a1<=a2<=...<=ak，其中ai在Ai內。由於r是最長鏈大小，因此r>=k。由於X被劃分成了k個反鏈，因此r>=k>=p。因此r=p，定理1得證。
序列的劃分
如果我們把一個序列的偏序關係定義為：i<j且a[i]>=a[j]那麼它的最大鏈就是它的一個最長不上升序列【令其長度為len】，而它對應的反鏈就是上升序列。根據Dilworth定理，那麼這個序列至少被劃分成len個上升序列。
簡單總結一下，就是：
一個序列的上升序列的最少個數等於最長不上升子序列的長度。
一個序列的下降序列的最少個數等於最長不下降子序列的長度。
END
很多地方都在口胡，希望有大佬【@G21GLF】指出錯誤之處。