HDU 3401 Trade（用單調佇列優化DP）
題意：給出T天內，每天的股票買賣價格和每天的股票買賣最大數量，而且最多隻能擁有maxP數量的股票，開始時有無限本金，任意兩次交易需要間隔W天及以上，也就是第i天交易，第i+w+1天及以後才能再交易。問最多能賺多少錢？（題意應該還有一個隱晦的要求是，當天只能買股票或者賣股票，不能同時做）
思路：很明顯的DP問題，用dp[i][j]表示第i天擁有j數量股票時的最多賺錢數。容易得到狀態轉移方程：
（1）當天不買不賣：
dp[i][j] = max（dp[i][j]，dp[i - 1][j]）
（2）買股票：
dp[i][j] = max（dp[i][j]，dp[h][k] - （j - k）* APi[i]），1 <= h <= i - W - 1，0 <= k <= j
（3）賣股票：
dp[i][j] = max（dp[i][j]，dp[h][k] +（k - j）* BPi[i]），1 <= h <= i - W - 1，j < k <= maxP
可以看出，這個狀態轉移方程變數太多，不便於處理，因此必須進行優化：
優化一：h必需的嗎？否
由狀態轉移方程（1），第i - W - 1天可以看作前一天不買不賣得到的，依次類推，可以看出，之前的都不需要考慮了，只考慮第i - W - 1天的情況即可。
則：
買股票：
dp[i][j] = max（dp[i][j]，dp[i - W -1][k] - （j - k）* APi[i]），0 <= k <= j
賣股票：
dp[i][j] = max（dp[i][j]，dp[i - W -1][k] +（k - j）* BPi[i]），j < k <= maxP
優化二：優化一後，現在仍需要列舉i、j、k三個量，O（n ^ 3）的複雜度，容易超時。以（2）為例，dp[i][j] = max（dp[i][j]，dp[i - W - 1][k] - （j - k）* APi[i]）= max（dp[i][j]，dp[i - W -1][k] + k * APi[i] - j * APi[i]），符合單調佇列優化DP的基本形式：dp[i] = max / min （f[k]）+ g[i] （k < i && g[i]是與k無關的變數），這樣通過單調佇列對dp方程進行優化，將O（n）複雜度降至O（1）（均攤），減少k這層列舉，使複雜度達到O（n ^ 2）。
// HDU 3401 Trade 執行/限制：218ms/1000ms
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
#define INF 0X3f3f3f3f
int T, maxP, W;//總天數 可擁有股票最多數量
int APi[2005],BPi[2005],ASi[2005],BSi[2005];//當天買股票的價格 當天賣股票的價格 當天最多買的股票 當天最多賣的股票
int dp[2005][2005];
struct node {
int num;//股票數量
int m;//dp[i - W - 1][k] + k * Api[i]或者 dp[i - W - 1][k] + k * BPi[i]
};
node queue[2005];
int head, tail;
int main(){
int t;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%d%d%d", &T, &maxP, &W);
for (int i = 1; i <= T; i++) {
scanf("%d%d%d%d", &APi[i], &BPi[i], &ASi[i], &BSi[i]);
}
//初始化dp陣列
for (int i = 0; i <= T; i++) {
for (int j = 0; j <= maxP; j++) {
dp[i][j] = -INF;
}
}
//預處理前W+1天
for (int i = 1; i <= W + 1; i++) {
for (int j = 0; j <= min(maxP,ASi[i]); j++) {//買股票
dp[i][j] = -j*APi[i];
}
}
dp[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= T; i++) {//天數
for (int j = 0; j <= maxP; j++) {//第i天不買不賣
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j]);
}
if (i - W - 1 <= 0) continue;
int pre = i - W - 1;
//買股票
head = 1;
tail = 0;
for (int j = 0; j <= maxP; j++) {//股票數量
int f = dp[pre][j] + APi[i] * j;
while (head <= tail && queue[tail].m <= f) {
tail--;
}
queue[++tail].num = j;
queue[tail].m = f;
while (head <= tail && queue[head].num + ASi[i] < j) {
head++;
}
dp[i][j] = max(dp[i][j], queue[head].m - APi[i] * j);
}
//賣股票
head = 1;
tail = 0;
for (int j = maxP; j >= 0; j--) {//股票數量
int f = dp[pre][j] + BPi[i] * j;
while (head <= tail && queue[tail].m <= f) {
tail--;
}
queue[++tail].num = j;
queue[tail].m = f;
while (head <= tail && queue[head].num - BSi[i] > j) {
head++;
}
dp[i][j] = max(dp[i][j], queue[head].m - BPi[i] * j);
}
}
int re = -INF;
for (int i = 0; i <= maxP; i++) {
re = max(re, dp[T][i]);
}
printf("%d\n", re);
}
return 0;
}