hihor學習日記：hiho一下 第六十一週
http://hihocoder.com/contest/hiho61/problem/1
題意分析
給定一個字串s，以及對該字串s的 m 個操作。
字串s包含n個字元，下標為1…n。字元由’A’到’Z’構成，字元增加1表示該字元變為後續字元，比如’A’增加1是’B’，‘C’增加1是’D’。需要注意的是’Z’增加1是’A’。
m個操作包含以下四種類型：
將字串第i位到第j位設定為C。
比如當i=2,j=3,C='Z’時：“ABCDEFG"變成"AZZDEFG”
將字串第i位到第j位增加K。
比如i=2,j=3,K=1時：“ABCDEFG"變成"ACDDEFG”
將字串左邊K位移至右邊。
比如K=3時：“ABCDEFG"變成"DEFGABC”
從字串第i位到第j位，依次增加1,2,…,j-i+1。
比如當i=2,j=3時：“ABCDEFG"變成"ACEDEFG”
輸出m個操作結束後的字串s。
演算法分析
本題需要根據每一次的操作去修改現在的s。若採用樸素的做法，每一次修改其最大代價為O(n)，故總的時間複雜度為O(nm)。對於n=50000,m=50000的資料量來說，這樣時間複雜度顯然是不能夠接受的。
仔細觀察我們每一次的操作，其中CMD3是對整體進行了平移，CMD1,CMD2,CMD4都是針對i到j的一個區間進行操作。
首先我們來解決看似比較簡單的CMD3操作：
若將整個字串s看作環形，則線型的字串是從起點指標SP開始順時針將n個元素進行展開得到的。那麼CMD3操作為順時針移動該環的頭指標。舉個例子來說：
最開始頭指標在1時，我們展開字串為[1,2,3,4,5]。當執行CMD3 K=2操作後，起點指標SP移動到3的位置，此時展開的字串為[3,4,5,1,2]。
符合CMD3操作的規則，並且起點指標SP的改變就是增加了K。
其中新字串的第ij位，對應的是原字串第i+SPj+SP位。
所以我們只需要維護一個SP指標，當執行CMD3操作時，改變SP的值。而對於其他操作的區間，只需要將區間從[i…j]變化到[i+SP…j+SP]即可。
需要注意的是，SP,i+SP,j+SP有可能會超過n。當超過n時，需要將其值減去n。
至此執行CMD3操作的時間複雜度降至O(1)。
接下來考慮CMD1,CMD2,CMD4。這三個操作均為區間上的操作，因此我們可以使用線段樹來進行模擬。(在我們的Hiho一下第19期和第20期可以找到線段樹的教程)
在那之前，我們需要對字元進行處理。從題目中我們知道當一個字元超過’Z’時，會直接變成’A’。所以我們可以直接考慮將’A’'Z’與025對應起來。當一個字元增加了很多次K後，其實際表示的字元也就等於該值 mod 26。
構造線段樹
構造線段樹，主要是構造每個節點的資料域，使其能夠記錄我們需要的資訊，同時在父節點和子節點之間能夠進行資訊的傳遞。根據本題的題意，我們構造的線段樹其節點包含以下三個資料：
same: 表示當前區間的字元是否相同，若相同則same等於該字元，否則same=-1
add: 表示當前區間的增量，對應CMD2操作所增加的K
delta和 inc : 這兩個變數是一組，其表示CMD4的操作。其含義為，該區間最左起第1個元素值增量為delta，此後每一個元素的增量比前一個多inc。即第2個元素的增量為delta+inc，第3個元素的增量為delta+inc+inc，…，第i個元素的增量為delta+inc*(i-1)。舉個例子：
若我們對區間[1,3]進行了CMD4操作，實際的意義為s1+1,s[2]+2,s[3]+3。對於表示區間[1,3]的節點，其Delta=1,inc=1。
若我們對區間[1,3]進行了2次CMD4操作，實際意義為s1+2,s[2]+4,s[3]+6。則此時Delta=2,inc=2。而對於表示區間[2,3]的節點，其Delta=4,inc=2。因為該區間左起第1個元素為s[2]+4，故delta=4。
在本題中我們一開始便讀入了字串，該字串的每一個字元對應了樹的一個葉子節點。故我們一開始就需要建出整顆樹，其程式碼：
// 該段程式碼我們採用的是陣列模擬線段樹
const int MAXN = 50001;
struct sTreeNode {
int left, right;
int same, add;
int delta, inc;
int lch, rch;
} tree[ MAXN << 2 ];
void createTree(int rt, int left, int right) {
tree[rt].left = left, tree[rt].right = right;
tree[rt].delta = tree[rt].step = 0;
tree[rt].add = 0;
if (left == right) { // 葉子節點
tree[rt].base = str[ left ] - 'A';
tree[rt].lch = tree[rt].rch = 0;
return ;
}
// 非葉子節點
tree[rt].base = -1;
tree[rt].lch = rt * 2, tree[rt].rch = rt * 2 + 1;
int mid = (tree[rt].left + tree[rt].right) >> 1;
createTree(tree[rt].lch, left, mid);
createTree(tree[rt].rch, mid + 1, right);
return ;
}
更新線段樹
在更新線段樹時，需要注意更新區間可能會出現i+SP <= n並且j+SP大於n時，此時要將區間分為[i+SP…n]和[1…j+SP-n]兩個部分單獨處理。
更新線段樹資訊的update函式：
// rt表示當前節點
// left,right表示此次操作的區間
// key表示此次操作K或Delta
// type表示此次操作的型別
void update(int rt, int left, int right, int key, int type) {
if (!rt) return ;
if (tree[rt].right < left || tree[rt].left > right) return ;
if (left <= tree[rt].left && tree[rt].right <= right) {
// 當前節點區間完全包含於[left,right]
// 更新當前區間資訊
...
} else {
// 當前節點區間不完全包含於[left,right]，則需要讓子區間來處理
// 傳遞當前區間的資訊
...
// 更新當前區間資訊
...
// 迭代處理
update(tree[rt].lch, left, right, key, type);
update(tree[rt].rch, left, right, key, type);
}
return ;
}
若當前區間包含於[left,right]，根據操作的不同我們進行如下的處理：
CMD1: 直接更新區間的same值，同時將add，delta和inc置為0
if (type == 1) {
tree[rt].same = key;
tree[rt].delta = 0, tree[rt].inc = 0;
tree[rt].add = 0;
}
CMD2: 累加到當前區間的add上
if (type == 2) {
tree[rt].add += key;
}
CMD4: 將新的delta和inc累加到當前區間的delta和inc上
if (type == 4) {
tree[rt].delta += key + (tree[rt].left - left);
tree[rt].inc ++;
}
當需要對子區間進行處理時，我們需要將當前區間的資訊傳遞下去，此時需要判斷當前區間的same值：
// 傳遞當前區間的資訊
int mid = (tree[rt].left + tree[rt].right) / 2;
if (tree[rt].base == -1) {
// lch
tree[ tree[rt].lch ].delta += tree[rt].delta;
tree[ tree[rt].lch ].step += tree[rt].step;
tree[ tree[rt].lch ].add += tree[rt].add;
// rch
tree[ tree[rt].rch ].delta += tree[rt].delta + (mid - tree[rt].left + 1) * tree[rt].step;
tree[ tree[rt].rch ].step += tree[rt].step;
tree[ tree[rt].rch ].add += tree[rt].add;
} else {
tree[ tree[rt].lch ].base = tree[ tree[rt].rch ].base = tree[rt].base;
tree[ tree[rt].lch ].delta = tree[rt].delta;
tree[ tree[rt].rch ].delta = tree[rt].delta + (mid - tree[rt].left + 1) * tree[rt].step;
tree[ tree[rt].lch ].step = tree[ tree[rt].rch ].step = tree[rt].step;
tree[ tree[rt].lch ].add = tree[ tree[rt].rch ].add = tree[rt].add;
}
當我們把當前區間的資訊傳遞下去後，可以知道當前區間內的字元一定會發生改變，所以設定其same=1。同時由於當前區間的add，delta和inc資訊已經傳遞下去，其本身的add，delta和inc設定為0：
// 更新當前區間資訊
tree[rt].base = -1;
tree[rt].delta = tree[rt].step = 0;
tree[rt].add = 0;
產生新的字串
在這一步我們需要對整個線段樹進行一次遍歷，將所有的資訊傳遞到葉子節點，再根據葉子節點的值產生我們新的字串。
int f[ MAXN ]; // 記錄每個葉子節點的數值
void getResult(int rt) {
if (!rt) return ;
if (tree[rt].base != -1) {
int delta = tree[rt].delta;
for (int i = tree[rt].left; i <= tree[rt].right; ++i)
f[i] = tree[rt].base + tree[rt].add + delta, delta += tree[rt].step;
} else {
int mid = (tree[rt].left + tree[rt].right) / 2;
// lch
tree[ tree[rt].lch ].delta += tree[rt].delta;
tree[ tree[rt].lch ].step += tree[rt].step;
tree[ tree[rt].lch ].add += tree[rt].add;
// rch
tree[ tree[rt].rch ].delta += tree[rt].delta + (mid - tree[rt].left + 1) * tree[rt].step;
tree[ tree[rt].rch ].step += tree[rt].step;
tree[ tree[rt].rch ].add += tree[rt].add;
getResult(tree[rt].lch);
getResult(tree[rt].rch);
}
return ;
}
此時得到的s並不是我們最後的結果，還需要根據SP的值來輸出
void typeAns() {
for (int i = 0; i < n; ++i)
printf("%c", (char) (f[(SP + i) % n] + 'A'));
printf("\n");
return ;
}
結果分析
本題現場的通過率為2%，一個有9名選手。
本題的思維複雜度並沒有第三題高，但是程式碼量比較大。因此在前三題花費了較多精力的選手很難有足夠的時間來解決此題。
不過也有少數選手選擇放棄了第三題，直接從第四題入手並得到了滿分。
對於實際比賽來說，當拿到第四題這樣的題目，而時間又不足夠充裕時，直接採用樸素演算法獲得部分分也是一個較好的選擇。
AC程式碼：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int Mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e5 + 5;
const double eps = 0.00000001;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Tree{
LL same, add;
LL delte, inc;
int l, r;
int w;
}tree[maxn << 2];
string ss;
void creatTree(int k, int l, int r) {
tree[k].l = l; tree[k].r = r;
tree[k].delte = tree[k].add = tree[k].inc = 0;
if(l == r) {
tree[k].w = ss[l - 1] - 'A';
return ;
}
tree[k].w = -1;
int mid = (l + r) >> 1;
creatTree(k << 1, l, mid);
creatTree(k << 1 | 1, mid + 1, r);
}
void down(int rt) {
int mid = (tree[rt].l + tree[rt].r) >> 1;
if(tree[rt].w == -1) {
tree[rt << 1].delte += tree[rt].delte;
tree[rt << 1].inc += tree[rt].inc;
tree[rt << 1].add += tree[rt].add;
tree[rt << 1 | 1].delte += tree[rt].delte + (mid - tree[rt].l + 1) * tree[rt].inc;
tree[rt << 1 | 1].inc += tree[rt].inc;
tree[rt << 1 | 1].add += tree[rt].add;
}else {
tree[rt << 1].w = tree[rt << 1 | 1].w = tree[rt].w;
tree[rt << 1].delte = tree[rt].delte;
tree[rt << 1 | 1].delte = tree[rt].delte + (mid - tree[rt].l + 1) * tree[rt].inc;
tree[rt << 1].inc = tree[rt << 1 | 1].inc = tree[rt].inc;
tree[rt << 1].add = tree[rt << 1 | 1].add = tree[rt].add;
}
tree[rt].w = -1;
tree[rt].delte = tree[rt].inc = 0;
tree[rt].add = 0;
}
void update(int rt, int l, int r, LL key, int type) {
//cout << tree[rt].l << " " << tree[rt].r << " " << l << " " << r << endl;
if(!rt)return ;
if(tree[rt].r < l || tree[rt].l > r) return ;
if(tree[rt].l >= l && tree[rt].r <= r) {
if(type == 1) {
tree[rt].w = key;
tree[rt].delte = 0;
tree[rt].inc = 0;
tree[rt].add = 0;
}else if(type == 2) {
tree[rt].add += key;
}else if(type == 4) {
tree[rt].delte += key + (tree[rt].l - l);
tree[rt].inc ++;
}
}else {
int mid = (tree[rt].l + tree[rt].r) >> 1;
down(rt);
//cout << tree[rt].l << " " << tree[rt].r << " " << mid << endl;
update(rt << 1, l, r, key, type);
update(rt << 1 | 1, l, r, key, type);
}
}
int f[maxn];
void getResult(int rt) {
if(!rt) return ;
if(tree[rt].w != -1) {
int delte = tree[rt].delte;
for (int i = tree[rt].l; i <= tree[rt].r; i ++) {
f[i] = tree[rt].w + tree[rt].add + delte;
f[i] %= 26;
delte += tree[rt].inc;
}
}
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#inc
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AC程式碼：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
cons
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存一下尤拉篩模板
#include <bits/stdc++.h>
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AC程式碼：
#include <bits/stdc++.h>
usin