Codeforces 1091D New Year and the Permutation Concatenation 找規律,數學 B
Codeforces 1091D New Year and the Permutation Concatenation
https://codeforces.com/contest/1091/problem/D
題目：
Let n be an integer. Consider all permutations on integers 1 to n in lexicographic order, and concatenate them into one big sequence p. For example, if n=3, then p=[1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1]. The length of this sequence will be n⋅n!n⋅n!.
Let 1≤i≤j≤n⋅n!be a pair of indices. We call the sequence (pi,pi+1,…,pj−1,pj) a subarray of pp. Its length is defined as the number of its elements, i.e., j−i+1. Its sum is the sum of all its elements, i.e., ∑jk=ipk.
You are given n. Find the number of subarrays of p of length n having sum n(n+1)/2. Since this number may be large, output it modulo 998244353 (a prime number).
Input
The only line contains one integer n (1≤n≤106), as described in the problem statement.
Output
Output a single integer — the number of subarrays of length nn having sum n(n+1)/2, modulo 998244353.
Examples
Input1
3
Output1
9
Input2
4
Output2
56
Input3
10
Output3
30052700
Note
In the first sample, there are 16 subarrays of length 3. In order of appearance, they are:
[1,2,3], [2,3,1], [3,1,3], [1,3,2], [3,2,2] [2,2,1], [2,1,3], [1,3,2], [3,2,3], [2,3,1], [3,1,3], [1,3,1]， [3,1,2], [1,2,3], [2,3,2], [3,2,1].
Their sums are 6, 6, 7, 6, 7, 5, 6, 6, 8, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 6. As n(n+1)/2=6, the answer is 9.
分析：
這道題題意挺明確的，輸入一個n，然後把長度為n，初始值為1的連續遞增的數列進行全排列然後排在一塊，再找其中連續的n個數，要求這n個數必須是1-n。
題意就是這樣那麼就分析：
暴力，呵呵呵呵，祝你好運
看到只輸入一個數n，第一反應就是oeis
無果，遂自尋規律
此處應該有規律
1~10是 1 2 9 56 395 3084 26621 253280 2642391 30052700
當然這個在一開始做的時候是絕對絕對不知道的
於是手推
推大概n=5的時候395還沒有太大的問題，分成第一個數字是12345可以分成五份，然後用全排列打個小程式，看看規律
首先一個很顯然的事實：
當全排列第一個數字是1和全排列第一個數字是2的湊在一塊，是肯定無法實現1-n的排列的
所以我們可以把整體分為n份，此為第一個結論
然後分析每一塊
先以n=3開始
全排列是
123132
顯然123 132 是兩個，也就是組成這個大數列P的是肯定必須都滿足條件
然後就是231，此為第一個全排列的第二個數開始，這是重中之重
第二個全排列的第二個數後面沒有後繼的數，遂作罷
當n=4時，
1234 1243 1324 1342 1423 1432
首先顯然的是6個
其次就是每個全排列的第二個數和後面的n-1個數組成的都是成立的
這些是5個
然後每個全排列的第三個數開始的長度為n的數列成立的是3個
這時候可能會有一絲絲思路，但不明確
當n=5的時候
寫出來有點小多啊。。。。
那就用程式跑
擷取我輸出的結果
51234 51243 51324 51342 51423 51432 52134 52143 52314 52341 52413 52431 53124 53142
首先的24個是跑不了
然後接下來的23也跑不了
再往下看，，就有些神奇了
此時應該關注每個全排列的第三個數
第三個數和第四第五個數，用豎著看的方式，會發現當前兩個數固定，就是後面在進行全排列！（廢話這是全排列的性質）
那麼我們可以分析出來這24箇中，5個成立的，1個不成立的，5個成立的，1個不成立的
咦居然有周期
試試第四個數
1,1,1,1,1
也就是成立和不成立交叉著
那麼和第四個數相匹配，那是什麼？
23+1 = 24
5+1 = 6
1+1 = 2
這不就是階乘嗎！
然後再用心鑽研那麼一點點
((n-1)!+(n-1)!*((n-2)!-1)/(n-2)!+(n-1)!*((n-3)!-1)/(n-3)!···)*n
講真這裡還不如自己手寫一下然後看程式碼
對了除法取模要用逆元
這道題你要說不會做以後遇到怎麼辦，我只能說多練數學題，培養對數學的感覺，就是這樣
AC程式碼
1 #include <stdio.h> 2 #include <math.h> 3 #include <string.h> 4 #include <algorithm> 5 #include <iostream> 6 #include <string> 7 #include <time.h> 8 #include <queue> 9 #include <string.h> 10 #define sf scanf 11 #define pf printf 12 #define lf double 13 #define ll long long 14 #define p123 printf("123\n"); 15 #define pn printf("\n"); 16 #define pk printf(" "); 17 #define p(n) printf("%d",n); 18 #define pln(n) printf("%d\n",n); 19 #define s(n) scanf("%d",&n); 20 #define ss(n) scanf("%s",n); 21 #define ps(n) printf("%s",n); 22 #define sld(n) scanf("%lld",&n); 23 #define pld(n) printf("%lld",n); 24 #define slf(n) scanf("%lf",&n); 25 #define plf(n) printf("%lf",n); 26 #define sc(n) scanf("%c",&n); 27 #define pc(n) printf("%c",n); 28 #define gc getchar(); 29 #define re(n,a) memset(n,a,sizeof(n)); 30 #define len(a) strlen(a) 31 #define LL long long 32 #define eps 1e-6 33 using namespace std; 34 const ll mod = 998244353; 35 ll pow_quick(ll a,ll b){ 36 ll r = 1,base = a; 37 while(b){ 38 if(b & 1){ 39 r *= base; 40 r %= mod; 41 } 42 base *= base; 43 base %= mod; 44 b >>= 1; 45 } 46 return r; 47 } 48 49 ll a[1000050]; 50 int main() { 51 ll n; 52 sld(n) 53 if(n == 1){ 54 p(1) pn return 0; 55 } 56 a[1] = 1ll; 57 for(ll i = 2; i <= n; i ++){ 58 a[i] = a[i-1]*i; 59 a[i] %= mod; 60 } 61 ll sum = a[n-1]; 62 //pld(sum) pn 63 for(ll i = 3; i <= n; i ++){ 64 ll x = (a[n-1]*pow_quick(a[i-1],mod-2))%mod; 65 x *= a[i-1]-1; 66 x %=mod; 67 sum += x; 68 sum %= mod; 69 } 70 pld((sum*(n))%mod) pn 71 return 0; 72 }
程式碼連結：https://codeforces.com/contest/1091/submission/47758982