關鍵路徑

拓撲排序主要是為解決一個工程能否順序進行的問題，但有時我們還需要解決工程完成需要的最短時間問題。比如造一輛汽車，我們需要先造各種各樣零件、部件，最終再組裝成車，假如，造一個輪子需要0.5天時間，造一個發動機需要3天時間，造一個車底盤需要2天時間，造一個外殼需要2天時間，其他零部件時間需要2天，全部零部件集中到一處需要0.5天，組裝成車需要2天，問汽車廠造輛車，最短需要多少時間呢？

一定不是時間的全部和。因此我們如果要對一個流程圖獲得最短時間，就必須要分析它們的拓撲關係，並且找到當中最關鍵的流程，這個流程的時間就是最短時間。

因此在AOV網的基礎上，我們來提出一個概念：

在一個表示工程的帶權有向圖中，用頂點表示事件，用有向邊表示活動，用邊上的權表示活動的持續時間，這種有向圖的邊表示活動的網，我們稱之為AOE網（Activity  On Edge  Network）。我們把AOE網中沒有入邊的的頂點稱為始點或源點，沒有出邊的頂點稱為終點或匯點。由於一個工程，總有一個開始，一個結束，所以正常情況下，AOE網只有一個源點一個匯點。如下圖

v9是匯點，v0是源點。v1~v9分別表示事件，弧<v0,v1>,<v0,v2>,…<v8,v9>都表示一個活動，用a0,a1,…a12表示，它們的值代表著活動持續的時間，比如弧<v0,v1>就是從源點開始的第一個活動a0，它的時間是3個單位。

既然AOE網表示工程流程，所以它就具有明顯的工程特性。如有在某頂點所代表的事發生生，從該頂點出發的各活動才能開始。只有在進入某頂點的各活動都結束，該頂點所代表的事件才能發生。

儘管AOE與AOV網都是用來對工程建模的，但它們還是有很大的不同，主要體現在AOV網是頂點表示活動的網，它只描述活動之間的制約關係，而AOE網是用邊表示活動的網，邊上的權值表示活動持續的時間，因此，AOE網是要建立在活動之間制約關係沒有矛盾的基礎上，再來分析完成整個工程至少需要多少時間，或者為縮短完成工程所需要時間，應當加快哪些活動等問題。

我們把路徑上各個活動所持續的時間之和稱為路徑長度，從源點到匯點具有最大長度的路徑叫關鍵路徑，在關鍵路徑上的活動叫關鍵活動。

最早開始時間與最晚開始時間不等，說明有空閒時間。也就是說，我們只需要找到所有活動的最早開始時間和最晚開始時間，並且比較它們，如果相等就意味著此活動是關鍵活動，活動間的路徑為關鍵路徑。如果不等就不是。為此有如下幾個引數

1.    事件的最早發生時間evt(earliest   time  of  vertex):即頂點vk的最早發生時間

2.    事件的最晚發生時間ltv(latest   time  of  vertex):即頂點vk的最晚發生時間，超出此時間將會延誤工期。

3.    活動的最早開工時間ete（earliest   time of  edge）：即弧ak的最早發生時間

4.    活動的最晚開工時間lte(latest    time   of  edge):即弧ak的最晚發生時間，也就是不推遲工期的最晚開工時間。

我們是由1和2可以求得3和4，然後再根據ete[k]是否與lte[k]相等來判斷ak是否是關鍵活動。

關鍵路徑演算法

我們將上面的AOE網轉化為鄰接表結構，注意增加了weight域，用來儲存弧的權值

求事件 的最早發生時間etv的過程，就是我們從頭至尾找拓撲序列的過程，因此，在求關鍵路徑之前，需要先呼叫一次拓撲序列演算法來計算etv和拓撲序列列表。為此我們首先在程式開始處宣告幾個全域性變數。

int  *etv,*ltv;//事件最早發生時間和最遲發生時間陣列

int  *stack2;//用於儲存拓撲序列的棧

int   top2; //用於stack2的指標

//下面是改進過的求拓撲序列演算法

status  TopologicalSort(GraphAdjList   GL)

{

      EdgeNode   *e;

      int   i,k,gettop;

      int   top=0;    //用於棧指標下標

      int    count=0;   //用於統計輸出頂點的個數

      int     *stack;  //創棧將入度為0的頂點入棧

     stack=(int  *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));

     for(i=0;i<GL->numVertexes;i++)

          if(0==GL->adjList[i].in) stack[++top]=i;

      top2=0;

     etv=(int  *)malloc(GL-numVertexes*sizeof(int)); //事件最早發生時間

      for(i=0;i<GL->numVertexes;i++)

        etv[i] = 0;

     stack2=(int  *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));

    while(top!=0)

    {

        gettop = stack[top--];

       count++;

       stack2[++top2] = gettop; //將彈出的頂點序號壓入拓撲序列的棧

        for(e=GL->adjList[gettop].firstedge;e;e=e->next)

        {

                k=e->adjvex;

               if(!(--GL->adjList[k].in))

                       stack[++top]=k;

             if((etv[gettop]+e->weight)>etv[k])

                        etv[k]=etv[gettop]+e->weight;

         }

    }

        if(count<GL->numVertexes)

            return ERROR;

        else

            return OK;

}

程式碼中，除了加粗部分外，與前面講的拓撲排序演算法沒有什麼不同，第11~15行為初始化全域性變數etv陣列、top2和stack2的過程。第21行就是將本是要輸出的拓撲序列壓入全域性棧stack2中。第27~28行很關鍵，它是求etv陣列的每一個元素的值。比如說，假如我們已經求得頂點v0對應的etv[0]=0，頂點v1對應的etv[1]=3，頂點v2對應的etv[2]=4，現在我們需要求頂點v3對應的etv[3]，其實就是求etv[1]+len<v1,v3>與etv[2]+len<v2,v3>的較大值。顯然3+5<4+8，得到etv[3]=12。如圖所示，在程式碼中e->weight就是當前弧的長度。

由此我們也可以得出計算頂點vk即求etv[k]的最早發生時間公式是：

下面我們來看一下求關鍵路徑的演算法程式碼

void  CriticalPath(GraphAdjList   GL)

{

        EdgeNode   *e;

        int   i,gettop,k,j;

        int ete,lte;

       TopologicalSort(GL);   //求拓撲序列，計算陣列etv和stack2的值

       ltv=(int  *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));//事件最晚發生時間

       for(i=0;i<GL->numVertexes;i++)

                   ltv[i] =etv[GL->numVertexes-1];//初始化ltv

       while(top2!=0)

       {

                 gettop = stack2[top2-1];

                 for(e=GL->adjList[gettop].firstedge;e;e=e->next)

                 {//求各頂點事件的最遲發生時間ltv值

                       k=e->adjvex;

                      if(ltv[k]-e->weight<ltv[gettop])//各點事件最晚發生時間

                           ltv[gettop] =ltv[k]-e->weight;

                 }

                  for(j=0;j<GL->numVertexes;j++)

                 {

                         for(e=GL->adjList[j].firstedge;e;e=e->next)

                         {

                                k=e->adjvex;

                                ete = etv[j];

                                lte =ltv[k]-e->weight;

                                if(ete==lte)

                                   printf(“<v%d,v%d>length:%d,”,GL->adjList[j].data,GL->adjList[k].data,e->weight);

                          }

                  }

        }

}

1.    程式開始執行。第5行，聲明瞭ete和lte兩個活動最早最晚發生時間變數。

2.    第6行，呼叫求拓撲序列的函式。執行完畢後，全域性變數陣列etv和棧stack值。top2=10。也就是說，對於每個事件的最早發生時間，我們已經計算出來了

3.    第7~9行為初始化全域性變數ltv陣列，因為etv[9]=27，所以陣列ltv當前的值為：{27, 27, 27,27, 27, 27, 27, 27, 27}

4.    第10~19行為計算ltv的迴圈。第12行，先將stack2的棧頭出棧，由後進先出得到gettop = 0。根據鄰接表中，v9沒有弧表，所以第13~18行迴圈體未執行。

5.    再次來到第12行，gettop=8，第13~18行的迴圈中，v8的弧表只有一條<v8,v9>，第15行得到k=9，因為ltv[9]-3<ltv[8]，所以ltv[8]=ltv[9]-3=24，

6.    再次迴圈，當gettop=7、5、6時，同理可算出ltv相對應的值19、13、25，此時ltv值為{27,27,27,27,27,13,25,19,24,27}

7.    當gettop=4時，由鄰接表可得到v4有兩條弧<v4,v6>，<v4,v7>，通常第13~18行的迴圈，可以得到ltv[4]=min(ltv[7]-4,ltv[6]-9)=min(19-4,25-9)

此時你應該發現，我們在計算ltv時，其實是把拓撲序倒過來進行的。因此我們可以得出計算頂點vk即求ltv[k]的最晚發生時間的公式是：

就這樣，當程式執行到第20行時，相關變數的值如圖

相關變數的值上表，如果單位是天的話，比如etv=[1]而ltv[7]，表示的意思就是如果時間單位是天的話，哪怕v1這個事件在第7天才開始，也可以保證整個工程的按期完成，你可以提前v1事件開始時間，但你最早也只能在第3三天開始。

8.    第20~31行是來求另兩個變數活動最早開始時間ete和活動最晚開始時間lte，並對相同下標的它們做比較。兩重迴圈巢狀是對鄰接表的頂點和每個頂點的弧表遍歷

9.    當j=0時，從v0點開始，有<v0,v2>和<v0,v1>兩條弧。當k=2時，ete=etv[j]=etv[0]。lte=ltv[v]-e->weight=ltv[2]-len<v0,v2>=4-4=0，此時ete=lte，表示弧<v0,v2>是關鍵的活動，因此列印。當k=1時，ete=etv[j]=etv[0]=0。lte=ltv[k]-e->weight=ltv[1]-len<v0,v1>=7-3=4，此時ete≠lte。因此<v0,v1>並不是關鍵活動

這裡需要解釋一下，ete本來是表示活動<vk,vj>的最早開工時間，是針對弧來說的。但是隻有此弧尾頂點vk的事件發生了，它才可以開始，因此ete=etv[k]

而lte表示的是活動<vk,vj>的最晚開工時間，但此活動再晚也不能等於vj事件發生才開始，而必須要在vj事件之前發生，所以lte=ltv[j]-len<vk,vj>。

比如晚上23點睡覺，你不能說到23點才開始做作業，而必須要提前2小時，在21點開始，才有可能按時完成作業。

所以最終，其實就是判斷ete與lte是否相等，相等意味著活動沒有任何空閒，是關鍵活動，否則就不是。

10.  j=1一直到j=9為止，做法完全相同的，關鍵路徑列印結果<v0,v2>4,<v2,v3>8<v3,v4>3,<v4,v7>4,<v7,v8>5,<v8,v9>3，最終關鍵路徑為如下圖