題目：

有一座高度是10級臺階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上1級或者2級臺階。要求用程式來求出一共有多少種走法。

比如，每次走1級臺階，一共走10步，這是其中一種走法。我們可以簡寫成 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1。

解法1：暴力列舉法（利用排列組合思想，寫一個多層巢狀迴圈遍歷出所有的可能性。每遍歷出一個組合，讓計數器加一）

大事化小，小事化了
那剛才的面試題目來說，假設只差最後一步就走到第10級臺階，這時候會出現幾種情況？



思路如下

F(10) = F(9) + F(8)

動態規劃當中包含三個重要的概念：最優子結構，邊界，狀態轉換公式

有一個國家發現了5座金礦，每座金礦的黃金儲量不同，需要參與挖掘的工人數也不同。參與挖礦工人的總數是10人。每座金礦要麼全挖，要麼不挖，不能派出一半人挖取一半金礦。要求用程式求解出，要想得到儘可能多的黃金，應該選擇挖取哪幾座金礦？

方法一：排列組合

每一座金礦都有挖與不挖兩種選擇，如果有N座金礦，排列組合起來就有2^N種選擇。對所有可能性做遍歷，排除那些使用工人數超過10的選擇，在剩下的選擇裡找出獲得金幣數最多的選擇。

程式碼比較簡單就不展示了，時間複雜度也很明顯，就是O(2^N)。



第一步：找出最優子結構



F(5,10) = MAX( F(4,10) , F(4, 10 - P(4) ) +G【4】 )
第二步：找出最優選擇之間的關係

第三步：確定問題的邊界


方法二：簡單遞迴

把狀態轉移方程式翻譯成遞迴程式，遞迴的結束的條件就是方程式當中的邊界。因為每個狀態有兩個最優子結構，所以遞迴的執行流程類似於一顆高度為N的二叉樹。

方法的時間複雜度是O(2^N)。

方法三：備忘錄演算法

在簡單遞迴的基礎上增加一個HashMap備忘錄，用來儲存中間結果。HashMap的Key是一個包含金礦數N和工人數W的物件，Value是最優選擇獲得的黃金數。

方法的時間複雜度和空間複雜度相同，都等同於備忘錄中不同Key的數量。