高精度加、減、乘、除演算法實現詳解
阿新 • • 發佈：2019-01-03
在說高精度加減乘除運算之前，我們先搞明白什麼是高精度運算？
實際上高精度就是說參與運算的資料和運算結果的範圍，超出標準資料型別能表示的資料大小範圍的運算。這個時候，如果要得到正確的計算結果，顯然不能依靠普通方法實現了。而要在普通運算原理的基礎上，加以輔助演算法來實現超大資料的計算。例如：求兩個100位的資料的和，或者計算兩個100位的數字乘積。這時就要用到高精度演算法了。
一、高精度加法：
高精度加法的實現原理：
1、計算結果的位數
358934760892734899共18位
38960302975237462共17位
故結果不會超過19位。
2、將要計算的數字分割成多段，按照順序排列（這裡以0-32767作為每一儲存單位儲存的數的限制）：
（為提高空間利用效率，可以一個儲存單位儲存多位數。）
3、將兩數相加。
4、輸出結果。
從高位到低位依次輸出。除最高位以外，其他低位上不足4位的要在前面補上0。
5.程式碼實現如下
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; int main() { string str1,str2; int a[250],b[250],len; //陣列的大小決定了計算的高精度最大位數 int i; memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b)); cin>>str1>>str2; //輸入兩個字串 a[0]=str1.length(); //取得第一個字串的長度 for(i=1;i<=a[0];i++) //把第一個字串轉換為整數，存放在陣列a中 a[i]=str1[a[0]-i]-'0'; b[0]=str2.length(); //取得第二個字串長度 for(i=1;i<=b[0];i++) //把第二個字串中的每一位轉換為整數，存放在陣列B中 b[i]=str2[b[0]-i]-'0'; len=(a[0]>b[0]?a[0]:b[0]); //取兩個字串最大的長度 for(i=1;i<=len;i++) //做按位加法，同時處理進位 { a[i]+=b[i]; a[i+1]+=a[i]/10; a[i]%=10; } len++; //下面是去掉最高位的0，然後輸出。 while((a[len]==0)&&(len>1)) len--; for(i=len;i>=1;i--) cout<<a[i]; return 0; } //注意：兩個數相加，結果的位數，應該比兩個數中大的那個數多一位。
二、高精度減法：
高精度減法的實現原理：
1.高精度減法相比高精度加法來說，稍微複雜一點，因為減法在差為負數時處理的細節更多一點：當被減數小於減數時，差為負數，差的絕對值是減數減去被減數；在程式實現上用一個變數來儲存符號位，用另一個數組存差的絕對值。
2.實現流程
(1).先比較大小
(2).決定輸出符號，為正還是為負
(3).按位減法，並注意處理借位
3.程式碼實現如下：
#include<iostream> using namespace std; int compare(string s1,string s2); int main() { string str1,str2; int a[250],b[250],len; int i; memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b)); cin>>str1>>str2; a[0]=str1.length(); for(i=1;i<=a[0];i++) a[i]=str1[a[0]-i]-'0'; b[0]=str2.length(); for(i=1;i<=b[0];i++) b[i]=str2[b[0]-i]-'0'; if((compare(str1,str2))==0) //大於等於，做按位減，並處理借位。 { for(i=1;i<=a[0];i++) {a[i]-=b[i]; if (a[i]<0) {a[i+1]--;a[i]+=10;} } a[0]++; while((a[a[0]]==0)&&(a[0]>1)) a[0]--; for(i=a[0];i>=1;i--) cout<<a[i]; cout<<endl; } else { cout<<'-'; //小於就輸出負號 for(i=1;i<=b[0];i++) //做按位減，大的減小的 {b[i]-=a[i]; if (b[i]<0) {b[i+1]--;b[i]+=10;} } b[0]++; while((b[b[0]]==0)&&(b[0]>1)) b[0]--; for(i=b[0];i>=1;i--) cout<<b[i]; cout<<endl; } return 0; } int compare(string s1,string s2) //比較字串（兩個數）數字的大小，大於等於返回0，小於返回1。 { if(s1.length()>s2.length()) return 0; //先比較長度，哪個字串長，對應的那個數就大 if(s1.length()<s2.length()) return 1; for(int i=0;i<=s1.length();i++) //長度相同時，就一位一位比較。 { if(s1[i]>s2[i]) return 0; if(s1[i]<s2[i]) return 1; } return 0; //如果長度相同，每一位也一樣，就返回0，說明相等 }
三、高精度乘法實現
高精度乘法實現原理：
1.由於數字較大，無法使用簡單的資料結構進行儲存，選用陣列和字串來儲存數字，字串方便我們對於高位整數的輸入，而整形陣列的簡便有利於每個位數的計算，結合兩者優點便可實現高精度乘法。
2.實現過程：
(1).通過兩個字串輸入兩個整數
(2).引入兩個陣列，將每個整數切割儲存到數組裡面
(3).進行每一位的運算
(4).處理進位
(5).輸出結果
3.程式碼實現如下：
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
string str1,str2;
int a[250],b[250],c[500],len; //250位以內的兩個數相乘
int i,j;
memset(a,0,sizeof(a));
memset(b,0,sizeof(b));
cin>>str1>>str2;
a[0]=str1.length();
for(i=1;i<=a[0];i++)
a[i]=str1[a[0]-i]-'0';
b[0]=str2.length();
for(i=1;i<=b[0];i++)
b[i]=str2[b[0]-i]-'0';
memset(c,0,sizeof(c));
for(i=1;i<=a[0];i++) //做按位乘法同時處理進位，注意迴圈內語句的寫法。
for(j=1;j<=b[0];j++)
{
c[i+j-1]+=a[i]*b[j];
c[i+j]+=c[i+j-1]/10;
c[i+j-1]%=10;
}
len=a[0]+b[0]+1; //去掉最高位的0，然後輸出
while((c[len]==0)&&(len>1)) len--; //為什麼此處要len>1??
for(i=len;i>=1;i--)
cout<<c[i];
return 0;
} 四、高精度除法實現
高精度除法實現原理：高精度除法這一塊比較複雜，它可以分為兩種情況：
第一種情況：高精除以低精，實際上就是對被除的每一位，包括前面的餘數都除以除數。
程式碼實現如下：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
char a1[100],c1[100];
int a[100],c[100],lena,i,x=0,lenc,b;
memset(a,0,sizeof(a));
memset(c,0,sizeof(c));
gets(a1); //輸入高精度被除數
cin>>b; //輸入低精度除數
lena=strlen(a1);
for (i=0;i<=lena-1;i++)
a[i+1]=a1[i]-48; //將高精度被除數放入a陣列
for (i=1;i<=lena;i++) //按位相除
{
c[i]=(x*10+a[i])/b;
x=(x*10+a[i])%b;
}
lenc=1;
while (c[lenc]==0&&lenc<lena)
lenc++; //刪除前導0
for (i=lenc;i<=lena;i++)
cout<<c[i];
cout<<endl;
return 0;
}第二種情況：高精除以高精
程式碼實現如下：
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[100],b[100],c[100];
int compare(int a[],int b[])//比較a、b，若a>b為1；若a<b為-1；若a=b為0
{
int i;
if(a[0]>b[0])
return 1;
if(a[0]<b[0])
return -1;
for(i=a[0];i>0;i--)//從高位到低位比較
{
if(a[i]>b[i])
return 1;
if(a[i]<b[i])
return -1;
}
return 0;
}
void subduction(int a[],int b[])//計算a=a-b
{
int flag;
int i;
flag=compare(a,b);
if(flag==0)//相等
{
a[0]=0;
return;
}
if(flag==1)//大於
{
for(i=1;i<=a[0];i++)
{
if(a[i]<b[i])//若不夠向上借位
{
a[i+1]--;
a[i]+=10;
}
a[i]-=b[i];
}
while(a[0]>0&&a[a[0]]==0)//刪除前導0
a[0]--;
return;
}
}
int main()
{
char str1[100],str2[100];
int i,j;
memset(a,0,sizeof(a));
memset(b,0,sizeof(b));
memset(c,0,sizeof(c));
cin>>str1>>str2;
a[0]=strlen(str1);//a[0]儲存串1的位數
b[0]=strlen(str2);//b[0]儲存串2的位數
for(i=1;i<=a[0];i++)
a[i]=str1[a[0]-i]-'0';
for(i=1;i<=b[0];i++)
b[i]=str2[b[0]-i]-'0';
int temp[100];
c[0]=a[0]-b[0]+1;
for(i=c[0];i>0;i--)
{
memset(temp,0,sizeof(temp));
for(j=1;j<=b[0];j++)//從i開始的地方，複製陣列b到陣列temp
temp[j+i-1]=b[j];
temp[0]=b[0]+i-1;
while(compare(a,temp)>=0)//用減法模擬
{
c[i]++;
subduction(a,temp);
}
}
while(c[0]>0&&c[c[0]]==0)//刪除前導0
c[0]--;
cout<<"商為：";
if(c[0]==0)//輸出結果
cout<<0<<endl;
else
{
for(i=c[0];i>0;i--)
cout<<c[i];
cout<<endl;
}
cout<<"餘數為：";
if(a[0]==0)//輸出餘數
cout<<0<<endl;
else
{
for(i=a[0];i>0;i--)
cout<<a[i];
cout<<endl;
}
return 0;
}