Normalized Cut（歸一化割）
所謂Clustering，就是說聚類，把一堆東西（合理地）分成兩份或者K份。從數學上來說，
聚類的問題就相當於Graph Partition的問題，即給定一個圖G = (V, E)，如何把它的頂點集劃分為不相交的子集，
使得這種劃分最好。其難點主要有兩個：
1. 這個“合理”其實相當難達到，隨便設一個目標函式可能達不到希望的結果。大家可以看了看[1]，這裡詳細地討論了一下準則的選擇問題。
2. 即使我們定義了一個相當好的聚類準則，如何優化它又是一個問題。
Normalized Cut
在圖上，定義什麼樣的聚類最好，最簡單的方法是圈定K個不相交頂點集之後，希望頂點集之間的邊，其權值的和最小。
(邊上的權值代表的是兩頭的頂點鄰近的程度，或者說相似度）
這就是所謂MinCut（最小割）問題。二類分類的最小割不是NP-hard的，但是這不能讓人感到開心，因為MinCut這個準則對於聚類不好。
具體來說，Mincut完全可能將離大部隊過遠的單個頂點與其它頂點分開, 形成兩類。
事實上，我們不僅僅要讓割邊的權和最小，而且要讓這K個頂點集都差不多大，這樣才符合聚類給人的直觀感覺。
於是在MinCut的基礎上，出現了Normalized Cut. 思路很簡單，將Cut normalize一下，除以表現頂點集大小的某種量度(如 vol A = 所有A中頂點集的度之和)。
也就是Normalize Cut(A, B) = Cut(A, B) / volA + cut(A, B) / volB
然而這樣一改，NP-hard就來了。這幾乎是所有組合優化問題的惡夢。
怎麼辦呢？把組合優化問題連續化，即所謂減少約束，進行適當的relax。那麼為什麼會和SVD扯上的呢？
很簡單，聚類是東西分成不相交集，也就是有正交的含義在裡面；只是分東西必須是0-1式的，這種離散化，就是np-hard的原因。
我們把正交約束保留，但把離散變成連續的，聚類就變成了尋找（列）正交陣的優化問題，那正是SVD的火力所在！就這樣，通過這種巧妙的relax，NP-hard問題有了近似解。且不說這近似解的質量如何，
這種方法是相當令人振奮的。
（關於Normalized Cut近似解的質量, 似乎沒有什麼文章能夠給出嚴格的證明，只是實際
效果不錯就是了。）
值得一提的是，Normalized Cut還和圖上的Markov chain有緊密的關係[5]。Normalized
Cut這個量度，
換成Markov chain的語言就是在圖上隨機遊走，子集間相互“串門”的概率大小。相當有
趣。