由之前對核函式的定義（見統計學習方法定義7.6）：
設χ是輸入空間（歐氏空間或離散集合），Η為特徵空間（希爾伯特空間），如果存在一個從χ到Η的對映

φ(x): χ→Η 使得對所有的x,z∈χ,函式Κ(x,z)=φ(x)∙φ(z)，
則稱Κ(x,z)為核函式，φ(x)為對映函式，φ(x)∙φ(z)為x,z對映到特徵空間上的內積。
由於對映函式十分複雜難以計算，在實際中，通常都是使用核函式來求解內積，計算複雜度並沒有增加，對映函式僅僅作為一種邏輯對映，表徵著輸入空間到特徵空間的對映關係。例如：
設輸入空間χ：,
對映函式φ(x)= < X,X > =
核函式Κ(x,z)=
那麼，取兩個樣例x=(1,2,3),z=(4,5,6)分別通過對映函式和核函式計算內積過程如下：
φ(x)=(1,2,3,2,4,6,3,6,9)
φ(z)=(16,20,24,20,25,30,24,30,36)
φ(x)∙φ(z)=16+40+72+40+100+180+72+180+324=1024
而直接通過Κ(x,z)計算得[(4+10+18)]^2=1024
兩者相比，核函式的計算量顯然要比對映函式小太多了。

從上可知，如果我們知道核函式的話，那麼就可以在不增加計算複雜度的情況下完成非線性變換。那麼我們下一步的任務就是確定核函式。
通常我們所說的核函式就是正定核函式，什麼函式是正定核函式呢？
這裡給出判定正定核的充要條件（見統計學習方法定理7.5）：
設Κ：χ×χ→R是對稱函式，則Κ(x,z)為正定核函式的充要條件是對任意x_i∈χ,i=1,2,…,m,Κ(x,z)對應的Gram矩陣：

是半正定矩陣。
由充要條件可以給出判定正定核的等價定義：
設χ為輸入空間，Κ(x,z)是定義在χ×χ對稱函式，如果對任意x_i∈χ,i=1,2,…,m,Κ(x,z)對應的Gram矩陣：
是半正定矩陣，則稱Κ(x,z)是正定核。
符合這樣條件的函式，我們稱它為正定核函式。
但值得提下的是，該定義是判定正定核的，也存在核函式是非正定核的，，如多元二次核函式：
在實際應用中，我們會經常用到Mercer定理還確定核函式。由Mercer定理得到的核函式稱為Mercer核，正定核與Mercer核的維基百科定義分別如下：

由以上定義可以看出，正定核比Mercer核更具有一般性，因為正定核要求函式為定義空間上的對稱函式，而Mercer核要求函式為對稱連續函式。

二、常用核函式
1、線性核函式
線性核函式是最簡單的核函式，是徑向基核函式的一個特例，公式為：

主要用於線性可分的情形，對應上一篇講的線性可分支援向量機與線性支援向量機。它在原始空間中尋找最優線性分類器，具有引數少速度快的優勢。
2、多項式核函式
多項式核適合於正交歸一化（向量正交且模為1）資料，公式為：
多項式核函式屬於全域性核函式，允許相距很遠的資料點對核函式的值有影響。引數d越大，對映的維度越高，計算量就會越大。當d過大時，由於學習複雜性也會過高，易出現“過擬合現象。
3、徑向基核函式&高斯核函式
徑向基核函式屬於區域性核函式，當資料點距離中心點變遠時，取值會變小。公式為：
高斯核函式可以看作是徑向基核函式的另一種形式：
高斯徑向基核對資料中存在的噪聲有著較好的抗干擾能力，由於其很強的區域性性，其引數決定了函式作用範圍，隨著引數σ的增大而減弱。
4、Sigmoid核函式
Sigmoid核函式來源於神經網路，被廣泛用於深度學習和機器學習中。公式為：
採用Sigmoid函式作為核函式時，支援向量機實現的就是一種多層感知器神經網路。支援向量機的理論基礎（凸二次規劃）決定了它最終求得的為全域性最優值而不是區域性最優值，也保證了它對未知樣本的良好泛化能力。
5、字串核函式
核函式不僅可以定義在歐氏空間上，還可以定義在離散資料的集合上。字串核函式是定義在字串集合上的核函式，可以直觀地理解為度量一對字串的相似度，在文字分類、資訊檢索等方面都有應用。