CDQ分治的巢狀
CDQ的巢狀
上一篇部落格介紹了一下CDQ的入門思想。這裡再介紹一下它的進階，CDQ套CDQ。其實如果對入門思想掌握的透徹，巢狀也是很容易掌握的，思想是一樣的。
什麼是巢狀
簡單地說，有的問題，如果用一重CDQ來分治一個維度後，在合併時，還無法僅藉助一層資料結構（如樹狀陣列）來計算左區間對右區間元素的影響。那這時，我們可以選擇再用一重CDQ來分治下一維度，達到再降維的效果。
以一道四維偏序的變形問題為例
HDU上的一道題，stars。
題意
三維空間下，有兩種操作，1.加入一個點；2.查詢當前指定長方體空間內含多少個點。
思路
這題可以類比二維下矩形求和拆成四個矩形字首求和。長方體求和可以拆成八個長方體字首求和，根據容斥做一下加減。
由於加入操作和查詢操作可能交替進行，就必須考慮操作時間的影響。解決了上一篇部落格的若干問題後，不難想到，這一題，我們必須考慮四個維度：時間和三個座標x,y,z。因此，按時間排序（即讀入順序），對x分治，在根據x進行合併時，我們發現無法簡單統計貢獻，因為還剩下兩維(y,z),也就是說我們需要二維樹狀陣列才能統計，但這樣空間開銷難以接受。因此，這一重CDQ我們不統計貢獻，只做按x排序這件事，但這樣時間順序會亂掉，所以還要標記每個元素的操作時間原本屬於左區間還是右區間。拷貝一份處理完的新序列
程式碼
#include<bits/stdc++.h> #define dd(x) cout<<#x<<" = "<<x<<" " #define de(x) cout<<#x<<" = "<<x<<"\n" #define sz(x) int(x.size()) #define All(x) x.begin(),x.end() #define pb push_back #define mp make_pair #define fi first #define se second using namespace std; typedef long long ll; typedef long double ld; typedef pair<int,int> P; typedef priority_queue<int> BQ; typedef priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > SQ; const int maxn=5e4+10,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f; int fwk[maxn<<1]; void upd(int p,int c) { for (int i=p;i<(maxn<<1);i+=i&-i) fwk[i]+=c; } int qry(int p) { int res=0; for (int i=p;i;i-=i&-i) res+=fwk[i]; return res; } struct node { int ti,x,y,z,ty,id; }; node p[maxn<<3],tmp[maxn<<3],tmp2[maxn<<3]; int ans[maxn],id,v[maxn<<1],tot,cnt; inline void read(int x,int y,int z,int id=0,int ty=0) { p[++cnt].x=x,p[cnt].y=y,p[cnt].z=z,p[cnt].id=id,p[cnt].ty=ty; } inline int hs(int x) { return lower_bound(v+1,v+1+tot,x)-v; } void cdq2(int l,int r) { if (l>=r) return; int m=(l+r)>>1; cdq2(l,m); cdq2(m+1,r); int i=l,j=m+1,k=0; while (i<=m&&j<=r) { if (tmp2[i].y==tmp2[j].y? tmp2[i].ty==0 : tmp2[i].y<tmp2[j].y) { if (tmp2[i].ti==0&&tmp2[i].ty==0) upd(hs(tmp2[i].z),1); tmp[k++]=tmp2[i++]; } else { if (tmp2[j].ti&&tmp2[j].ty) ans[tmp2[j].id]+=tmp2[j].ty*qry(hs(tmp2[j].z)); tmp[k++]=tmp2[j++]; } } while (j<=r) { if (tmp2[j].ti&&tmp2[j].ty) ans[tmp2[j].id]+=tmp2[j].ty*qry(hs(tmp2[j].z)); tmp[k++]=tmp2[j++]; } for (int t=l;t<i;++t) if (tmp2[t].ti==0&&tmp2[t].ty==0) upd(hs(tmp2[t].z),-1); while (i<=m) tmp[k++]=tmp2[i++]; for (int i=0;i<k;++i) tmp2[l+i]=tmp[i]; } void cdq1(int l,int r) { if (l>=r) return; int m=(l+r)>>1; cdq1(l,m); cdq1(m+1,r); int i=l,j=m+1,k=0; while (i<=m&&j<=r) { if (p[i].x==p[j].x? (p[i].ty==0) : (p[i].x<p[j].x)) p[i].ti=0, tmp[k++]=p[i++]; else p[j].ti=1, tmp[k++]=p[j++]; } while (i<=m) p[i].ti=0, tmp[k++]=p[i++]; while (j<=r) p[j].ti=1, tmp[k++]=p[j++]; for (i=0;i<k;++i) p[l+i]=tmp[i]; for (i=0;i<k;++i) tmp2[i]=tmp[i]; cdq2(0,k-1); } int main() { int T; cin>>T; while (T--) { memset(ans,0,sizeof(ans)); tot=0,cnt=0,id=0; int n; scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;++i) { int op,x1,x2,y1,y2,z1,z2; scanf("%d",&op); if (op==1) { scanf("%d%d%d",&x1,&y1,&z1); read(x1,y1,z1); } else { scanf("%d%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&z1,&x2,&y2,&z2); x1--,y1--,z1--; read(x2,y2,z2,++id,1); read(x1,y1,z2,id,1); read(x1,y2,z2,id,-1); read(x2,y1,z2,id,-1); read(x2,y2,z1,id,-1); read(x1,y1,z1,id,-1); read(x1,y2,z1,id,1); read(x2,y1,z1,id,1); v[++tot]=z2; } v[++tot]=z1; } sort(v+1,v+1+tot); cdq1(1,cnt); for (int i=1;i<=id;++i) printf("%d\n",ans[i]); } return 0; }
總結
簡單總結一下，可以cdq分治的這類題，就是用cdq來逐步降維，把高維問題簡化為我們熟悉的低維問題。當然資料結構也可以起到降維的效果，但缺點一般是空間開銷較大。因此在不強制線上的情況下，CDQ分治不妨作為一個降維工具