基礎知識

會加減乘除（納尼，這個還有不會的嗎）

會雙向連結串列和樹（納尼，還個還要會嗎）

溫故知新

表示式 2 + 3 - 4 + 5，人類計算的過程是這樣的，如下圖：

因為加減操作符優先順序相同，所以從左到右依次運算。

可計算機不會這樣啊，必須先轉化為一棵樹（AST，抽象語法樹，這是編譯原理中的概念）才行，如下圖：

操作符上提變為根節點，左右運算元下降變為葉子節點，它們整體又成了一個運算元。依次對每個操作符使用這個規則，表示式即可變成一棵樹。

再接再厲

表示式 2 + 3 × 4 - 5 ÷ 6，人類的計算過程是這樣的，如下圖：

按照優先順序從高到低，先乘除，再加減。

要想讓計算機來算啊，還得先轉換為一棵AST才行，如下圖：

發現問題

綜上，不難發現，先要把一個表示式轉化為一棵AST。人類根據操作符的優先順序很自然地把一個表示式轉化為一棵樹，但是計算機該怎麼做呢？

模仿人類

人類的視線可以在表示式上隨意掃描，對於不復雜的，一眼就發現優先順序高的操作符，瞬間拿到它兩邊的運算元，就可以進行轉化了。

計算機在方式上無法和人類相比，但是在結果上必須要相同，即也要找到優先順序高的操作符，也要知道它兩邊的運算元，然後再進行轉化。

迴歸程式

定義一下操作符的優先順序，優先順序的數值沒有要求，如下圖：

當我們拿到一個操作符時，也要能拿到它左右兩邊的運算元，因操作符和運算元是間隔互聯的，實際它們就是一個雙向連結串列。

因我們要找出優先順序高的操作符，所以必須先找出所有的操作符，然後再判斷優先順序的高低。

把整個表示式裡的運算元和操作符用雙向連結串列串起來，並把所有的操作符放入一個列表裡。如下圖：

按優先順序從高到低對操作符列表排序，優先順序高的前移，優先順序低的後移，優先順序相同的相對位置不變。如下圖：

取出排在第一位的×，去雙向連結串列裡找出它的左右運算元3和4，把這三個節點轉化為一棵樹，再把該樹作為運算元替換掉原來的三個節點，同時修復好與前面 + 號和後面 - 號的雙向連結。如下圖：

取出第二位的÷，採用和上面相同的方式進行轉化。如下圖：

取出第三位的+，採用相同的方式轉化。如下圖：

取出最後一位的-，採用相同的方式轉化後，整個表示式轉化完畢，變為一棵AST。如下圖：

推而廣之

操作符有了優先順序之後，就限制了表示式的計算順序，人們有時希望打破這種限制，就引入了更神奇的操作符，就是小括號啦（哈哈）。

表示式 ( 2 + 3 ) × ( ( 4 - 5 ) ÷ 6 )，如果還想採用上面的套路，那麼核心問題就落到了操作符的優先順序上了。即如何真實地反映每個操作符的優先順序值。

此時我們意識到，操作符的優先順序不再是固定的，而是會隨著有沒有括號以及括號的巢狀深度而變化。其實小括號本來就是改變了操作符的優先順序嘛，我們人類明白這一點，關鍵也要讓計算機明白。

既然括號是操作符，那也為它定義一個優先順序值，這個值最好稍微大一些。如下圖：

定義一個上下文的基礎優先順序值，預設當然是0了。

當遇到左括號時，基礎優先順序值加上括號優先順序值，相當於基礎優先順序值得到了提升，這樣括號裡的操作符因為有基礎優先順序值的存在，所以自然擡高了自己的優先順序值（相等於站到了巨人的肩膀上）。

當遇到右括號時，基礎優先順序值減去括號優先順序值，相當於此時新的基礎優先順序值降到了進入括號前的水準。如下圖：

解析表示式，同時計算出每個操作符的優先順序值（牢記，遇到一個左括號加100，遇到一個右括號減100）。如下圖：

按照實際優先順序值從高到低排序操作符列表。如下圖：

最後按照相同的方式，轉換為一棵AST。如下圖：

後記：人類社會存在的歷史要比計算機的歷史長的多，從人類社會尋找問題的解決思路有時也是一個不錯的方向。甚至可以從大自然中尋找。

（完）

程式設計新說

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