重溫資料結構：二叉排序樹的查詢、插入、刪除
阿新 • • 發佈：2019-01-04
讀完本文你將瞭解到：
我們知道，二分查詢可以縮短查詢的時間，但是有個要求就是 查詢的資料必須是有序的。每次查詢、操作時都要維護一個有序的資料集，於是有了二叉排序樹這個概念。
上篇文章 我們介紹了 二叉樹 的概念，二叉樹有左右子樹之分，想必在區分左右子樹時有一定的規則。
現在我們來介紹二叉樹的一種特殊形式 — 二叉排序樹，瞭解它的區分策略及常用操作。
什麼是二叉排序樹 Binary Sort Tree, BST
二叉排序樹，又稱二叉查詢樹、二叉搜尋樹。
二叉排序樹是具有下列性質的二叉樹：
- 若左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；
- 若右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於或等於它的根結點的值；
- 左、右子樹也分別為二叉排序樹。
也就是說，二叉排序樹中，左子樹都比節點小，右子樹都比節點大，遞迴定義。
根據二叉排序樹這個特點我們可以知道，二叉排序樹的中序遍歷一定是從小到大的，比如上圖，中序遍歷結果是：
1 3 4 6 7 8 10 13 14
二叉排序樹的關鍵操作
1.查詢
根據二叉排序樹的定義，我們可以知道在查詢某個元素時：
- 先比較它與根節點，相等就返回；或者根節點為空，說明樹為空，也返回；
- 如果它比根節點小，就從根的左子樹裡進行遞迴查詢；
- 如果它比根節點大，就從根的右子樹裡進行遞迴查詢。
可以看到，這就是一個 二分查詢。
程式碼實現：
public class BinarySearchTree { private BinaryTreeNode mRoot; //根節點 public BinarySearchTree(BinaryTreeNode root) { mRoot = root; } /** * 在整個樹中查詢某個資料 * * @param data * @return */ public BinaryTreeNode search(int data) { return search(mRoot, data); } /** * 在指定二叉排序樹中查詢資料 * * @param node * @param data * @return */ public BinaryTreeNode search(BinaryTreeNode node, int data) { if (node == null || node.getData() == data) { //節點為空或者相等，直接返回該節點 return node; } if (data < node.getData()) { //比節點小，就從左子樹裡遞迴查詢 return search(node.getLeftChild(), data); } else { //否則從右子樹 return search(node.getRightChild(), data); } } }
可以看到，在二叉排序樹中查詢是十分簡單的，但是這依賴於每次插入、刪除元素時對整個 排序樹 結構的維護。
2.插入
二叉樹中的插入，主要分兩步：查詢、插入：
- 先查詢有沒有整個元素，有的話就不用插入了，直接返回；
- 沒有就插入到之前查到（對比）好的合適的位置。
插入時除了設定資料，還需要跟父節點繫結，讓父節點意識到有你這個孩子：比父節點小的就是左孩子，大的就是右孩子。
程式碼實現：
/** * 插入到整個樹中 * * @param data */ public void insert(int data) { if (mRoot == null) { //如果當前是空樹，新建一個 mRoot = new BinaryTreeNode(); mRoot.setData(data); return; } searchAndInsert(null, mRoot, data); //根節點的父親為 null } /** * 兩步走：查詢、插入 * * @param parent 要繫結的父節點 * @param node 當前比較節點 * @param data 資料 */ private BinaryTreeNode searchAndInsert(BinaryTreeNode parent, BinaryTreeNode node, int data) { if (node == null) { //當前比較節點為 空，說明之前沒有這個資料，直接新建、插入 node = new BinaryTreeNode(); node.setData(data); if (parent != null) { //父節點不為空，繫結關係 if (data < parent.getData()) { parent.setLeftChild(node); } else { parent.setRightChild(node); } } return node; } //對比的節點不為空 if (node.getData() == data) { //已經有了，不用插入了 return node; } else if (data < node.getData()) { //比節點小，從左子樹裡查詢、插入 return searchAndInsert(node, node.getLeftChild(), data); } else { return searchAndInsert(node, node.getRightChild(), data); } }
3.刪除 *
插入操作和查詢比較類似，而刪除則相對複雜一點，需要根據刪除節點的情況分類來對待：
- 如果要刪除的節點正好是葉子節點，直接刪除就 Ok 了；
- 如果要刪除的節點還有子節點，就需要建立父節點和子節點的關係：
- 如果只有左孩子或者右孩子，直接把這個孩子上移放到要刪除的位置就好了；
- 如果有兩個孩子，就需要選一個合適的孩子節點作為新的根節點，該節點稱為 繼承節點。
新節點要求要比所有左子樹大，比所有右子樹小，怎麼選擇呢？
**要比所有左子樹的值大、右子樹小，就從右子樹裡找最小的好了；
同樣也可以從左子樹裡找最大的。**
兩種選擇方法都可以，本文選用右子樹裡最小的節點，也就是右子樹中最左邊的節點。
程式碼實現：
/**
* 在整個樹中 查詢指定資料節點的父親節點
*
* @param data
* @return
*/
public BinaryTreeNode searchParent(int data) {
return searchParent(null, mRoot, data);
}
/**
* 在指定節點下 查詢指定資料節點的父親節點
*
* @param parent 當前比較節點的父節點
* @param node 當前比較的節點
* @param data 查詢的資料
* @return
*/
public BinaryTreeNode searchParent(BinaryTreeNode parent, BinaryTreeNode node, int data) {
if (node == null) { //比較的節點為空返回空
return null;
}
if (node.getData() == data) { //找到了目標節點，返回父節點
return parent;
} else if (data < node.getData()) { //資料比當前節點小，左子樹中遞迴查詢
return searchParent(node, node.getLeftChild(), data);
} else {
return searchParent(node, node.getRightChild(), data);
}
}
/**
* 刪除指定資料的節點
*
* @param data
*/
public void delete(int data) {
if (mRoot == null || mRoot.getData() == data) { //根節點為空或者要刪除的就是根節點，直接刪掉
mRoot = null;
return;
}
//在刪除之前需要找到它的父親
BinaryTreeNode parent = searchParent(data);
if (parent == null) { //如果父節點為空，說明這個樹是空樹，沒法刪
return;
}
//接下來該找要刪除的節點了
BinaryTreeNode deleteNode = search(parent, data);
if (deleteNode == null) { //樹中找不到要刪除的節點
return;
}
//刪除節點有 4 種情況
//1.左右子樹都為空，說明是葉子節點，直接刪除
if (deleteNode.getLeftChild() == null && deleteNode.getRightChild() == null) {
//刪除節點
deleteNode = null;
//重置父節點的孩子狀態，告訴他你以後沒有這個兒子了
if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {
parent.setLeftChild(null);
} else {
parent.setRightChild(null);
}
return;
} else if (deleteNode.getLeftChild() != null && deleteNode.getRightChild() == null) {
//2.要刪除的節點只有左子樹，左子樹要繼承位置
if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {
parent.setLeftChild(deleteNode.getLeftChild());
} else {
parent.setRightChild(deleteNode.getLeftChild());
}
deleteNode = null;
return;
} else if (deleteNode.getRightChild() != null && deleteNode.getRightChild() == null) {
//3.要刪除的節點只有右子樹，右子樹要繼承位置
if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {
parent.setLeftChild(deleteNode.getRightChild());
} else {
parent.setRightChild(deleteNode.getRightChild());
}
deleteNode = null;
} else {
//4.要刪除的節點兒女雙全，既有左子樹又有右子樹，需要選一個合適的節點繼承，這裡使用右子樹中最左節點
BinaryTreeNode copyOfDeleteNode = deleteNode; //要刪除節點的副本，指向繼承節點的父節點
BinaryTreeNode heresNode = deleteNode.getRightChild(); //要繼承位置的節點，初始為要刪除節點的右子樹的樹根
//右子樹沒有左孩子了，他就是最小的，直接上位
if (heresNode.getLeftChild() == null) {
//上位後，兄弟變成了孩子
heresNode.setLeftChild(deleteNode.getLeftChild());
} else {
//右子樹有左孩子，迴圈找到最左的，即最小的
while (heresNode.getLeftChild() != null) {
copyOfDeleteNode = heresNode; //copyOfDeleteNode 指向繼承節點的父節點
heresNode = heresNode.getLeftChild();
}
//找到了繼承節點，繼承節點的右子樹（如果有的話）要上移一位
copyOfDeleteNode.setLeftChild(heresNode.getRightChild());
//繼承節點先繼承家業，把自己的左右孩子變成要刪除節點的孩子
heresNode.setLeftChild(deleteNode.getLeftChild());
heresNode.setRightChild(deleteNode.getRightChild());
}
//最後就是確認位置，讓要刪除節點的父節點認識新兒子
if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {
parent.setLeftChild(heresNode);
} else {
parent.setRightChild(heresNode);
}
}
}
執行程式碼測試
可以看到，二叉排序樹的查詢、新增較簡單，刪除邏輯比較多，我們以下圖為例：
測試程式碼：
@Test
public void delete() throws Exception {
//亂序插入到二叉排序樹中
BinarySearchTree binarySearchTree = new BinarySearchTree(null);
binarySearchTree.insert(8);
binarySearchTree.insert(3);
binarySearchTree.insert(1);
binarySearchTree.insert(6);
binarySearchTree.insert(4);
binarySearchTree.insert(7);
binarySearchTree.insert(10);
binarySearchTree.insert(13);
binarySearchTree.insert(14);
//中序遍歷
binarySearchTree.iterateMediumOrder(binarySearchTree.getRoot());
System.out.println("");
//查詢某個資料
System.out.println(binarySearchTree.search(10).getData());
//刪除某個資料對應的元素
binarySearchTree.delete(6);
//中序遍歷刪除後的二叉排序樹
binarySearchTree.iterateMediumOrder(binarySearchTree.getRoot());
}
執行結果：
一道面試題
輸入一棵二元查詢樹，將該二元查詢樹轉換成一個排序的雙向連結串列。要求不能建立任何新的結點，只調整指標的指向。 比如將二元查詢樹：
10 / \ 6 14 / \ / \ 4 8 12 16轉換成雙向連結串列後為：4=6=8=10=12=14=16
解析：
這題據說是微軟的面試題，乍看起來貌似很麻煩，又是二叉排序樹又是雙向連結串列的，其實考察的都是很基礎的東西，明眼人一看就發現只要將這棵樹中序遍歷後就是將二叉樹節點排序（不然它為啥叫二叉排序樹呢…），那麼我們只要將這棵樹中序遍歷，遍歷到一個節點就將該節點的左指標指向上一個遍歷的節點，並將上一個遍歷的節點的右指標指向現在正在遍歷的節點，那麼當我們遍歷完整棵樹後，我們的雙向連結串列也改好啦！這樣既不用新增多餘節點，也不用新增多餘的指標變數。你可以寫下程式碼試試。
總結
二叉排序樹的效能取決於二叉樹的層數：
- 最好的情況是 O(logn)，存在於完全二叉排序樹情況下，其訪問效能近似於折半查詢；
- 最差時候會是 O(n)，比如插入的元素是有序的，生成的二叉排序樹就是一個連結串列，這種情況下，需要遍歷全部元素才行（見下圖 b）。
Thanks
《輕鬆學演算法》