上一節課，我們主要介紹了VC Dimension的概念。如果Hypotheses set的VC Dimension是有限的，且有足夠多N的資料，同時能夠找到一個hypothesis使它的Ein≈0$E_{in}\approx 0$，那麼就能說明機器學習是可行的。本節課主要講了資料集有Noise的情況下，是否能夠進行機器學習，並且介紹了假設空間H下演演算法A的Error估計。

一、Noise and Probablistic target

上節課推導VC Dimension的資料集是在沒有Noise的情況下，本節課討論如果資料集本身存在Noise，那VC Dimension的推導是否還成立呢？

首先，Data Sets的Noise一般有三種情況：

• 由於人為因素，正類被誤分為負類，或者負類被誤分為正類；

• 同樣特徵的樣本被模型分為不同的類；

• 樣本的特徵被錯誤記錄和使用。

之前的資料集是確定的，即沒有Noise的，我們稱之為Deterministic。現在有Noise了，也就是說在某點處不再是確定分佈，而是概率分佈了，即對每個(x，y)出現的概率是P(y|x)$P(y|x)$。

因為Noise的存在，比如在x點，有0.7的概率y=1，有0.3的概率y=0，即y是按照P(y|x)$P(y|x)$分佈的。數學上可以證明如果資料集按照P(y|x)$P(y|x)$概率分佈且是iid的，那麼以前證明機器可以學習的方法依然奏效，VC Dimension有限即可推斷

P(y|x)$P(y|x)$稱之為目標分佈（Target Distribution）。它實際上告訴我們最好的選擇是什麼，同時伴隨著多少noise。其實，沒有noise的資料仍然可以看成“特殊”的P(y|x)$P(y|x)$概率分佈，即概率僅是1和0.對於以前確定的資料集：

在引入noise的情況下，新的學習流程圖如下所示：

二、ERROR Measure

機器學習需要考慮的問題是找出的矩g與目標函式f有多相近，我們一直使用

我們介紹的矩g對錯誤的衡量有三個特性：

• out-of-sample：樣本外的未知資料

• pointwise：對每個資料點x進行測試

• classification：看prediction與target是否一致，classification error通常稱為0/1 error

PointWise error實際上就是對資料集的每個點計算錯誤並計算平均，Ein$Ein$和Eout$Eout$的pointwise error的表示式為：

pointwise error是機器學習中最常用也是最簡單的一種錯誤衡量方式，未來課程中，我們主要考慮這種方式。pointwise error一般可以分成兩類：0/1 error和squared error。0/1 error通常用在分類（classification）問題上，而squared error通常用在迴歸（regression）問題上。

Ideal Mini-Target由P(y|x)$P(y|x)$和err共同決定，0/1 error和squared error的Ideal Mini-Target計算方法不一樣。例如下面這個例子，分別用0/1 error和squared error來估計最理想的mini-target是多少。0/1 error中的mini-target是取P(y|x)最大的那個類，而squared error中的mini-target是取所有類的加權平方和。

有了錯誤衡量，就會知道當前的矩g是好還是不好，並會讓演演算法不斷修正，得到更好的矩g，從而使得g與目標函式更接近。所以，引入error measure後，學習流程圖如下所示：

三、Algorithmic Error Measure

Error有兩種：false accept和false reject。false accept意思是誤把負類當成正類，false reject是誤把正類當成負類。 根據不同的機器學習問題，false accept和false reject應該有不同的權重，這根實際情況是符合的，比如是超市優惠，那麼false reject應該設的大一些；如果是安保系統，那麼false accept應該設的大一些。

機器學習演演算法A的cost function error估計有多種方法，真實的err一般難以計算，常用的方法可以採用plausible或者friendly，根據具體情況而定。

引入algorithm error measure之後，學習流程圖如下：

四、Weighted Classification

實際上，機器學習的Cost Function即來自於這些error，也就是演算法裡面的迭代的目標函式，通過優化使得Error（Ein）不斷變小。
cost function中，false accept和false reject賦予不同的權重，在演演算法中體現。對不同權重的錯誤懲罰，可以選用virtual copying的方法。

五、總結

本節課主要講了在有Noise的情況下，即資料集按照P(y|x)$P(y|x)$概率分佈，那麼VC Dimension仍然成立，機器學習演算法推導仍然有效。機器學習cost function常用的Error有0/1 error和squared error兩類。實際問題中，對false accept和false reject應該選擇不同的權重。

註明：

文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習基石》課程。

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