FFT——快速傅立葉變換

這塊不寫東西空蕩蕩的，我決定還是把FFT的定義給貼上吧

FFT（Fast Fourier Transformation）是離散傅氏變換（DFT）的快速演算法。即為快速傅氏變換。它是根據離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的演算法進行改進獲得的。

這三段話其實一點用也沒有

FFT是幹什麼的

FFT在演算法競賽中就有一個用途：加速多項式乘法(暴言)

簡單來說，形如 $a_0X^0+a_1X^1+a_2X^2+⋯+a_nX^n$ 的代數表示式叫做多項式，可以記作$f\left(X\right)=a_0{X}^0+a_{}$

如果我們當前有兩個多項式$f(X),g(X)$，現在要把他們乘起來(求卷積)，最樸素的做法就是

$\sum \limits _{i=0}^{2n-1} (\sum \limits _{j=0} ^{i} a_j*b_{i-j})*x^i$

這樣的複雜度是$\varTheta(n^2)$的，十分不美觀，FFT就是要將這個過程優化為$\varTheta(n \log n)$

前置技能

多項式

見上文

複數

複數形如$a+bi$，其中$i=\sqrt {-1}$

$a$叫作複數的實部，$bi$叫做複數的虛部

複數$(a_1+b_1i)*(a_2+b_2i)$相乘的值，即$a_1a_2-b_1b_2+(a_1b_2+a_2b_1)i$

複數$c+di$可以用這種方式表示出來

複數乘法的在複平面中表現為輻角相加，模長相乘

單位根

複數$w$滿足$w^n=1$稱作$w$是$n$次單位根，下圖包含了所有的$8$次單位根(圖中圓的半徑是1)

同樣的，下圖是所有的4次單位根

聰明的你也許已經發現了單位根的些許性質，即

$w_{2n}^{2m}=w_{n}^{m}$

$w_n^m=-w_n^{m+\frac{n}{2}}$

這兩個要記住，一會很有用

多項式的係數表達法

我們有多項式$f(X)=a_0X^0+a_1X^1+a_2X^2+⋯+a_nX^n$，令$\vec{a}=(a_0,a_1,a_2,...,a_n)$，則稱$A(X)$為多項式$f(X)$的係數表示法

在係數表示法下，計算多項式乘法是$\varTheta (n^2)$的

多項式的點值表達法

任取$n+1$個互不相同的$S=\{p_1,p_2,...,p_{n+1}\}$，對$f(X)$分別求值得到$f(p_1),f(p_2),...,f(p_{n+1})$，那麼稱$A(X)=\{(p_1,f(p_1)),(p_2,f(p_2)),...,(p_{n+1},f(p_{n+1}))\}$為多項式$f(X)$在$S$下的點值表示法

可以把多項式想象成一個$n$次函式，點值表示法就是取$S$下每一個橫座標時對應的點，因為$n$次函式可以由$n+1$個點確定下來(可以將每一個點列一個$n$次方程)，所以$n$維點值與$n$維繫數一一對應

更重要的一點，點值表示法下的乘法運算獲得了簡化

兩個多項式$P$,$Q$分別取點$(x,y_1)$和$(x,y_2)$，$P*Q$就會取到點$(x,y_1*y_2)$；

令$C=P*Q$，因為$C(X)=P(X)*Q(X)$，所以$C(x)=P( 相關推薦 FFT演算法講解——麻麻我終於會FFT了！ FFT——快速傅立葉變換 這塊不寫東西空蕩蕩的，我決定還是把FFT的定義給貼上吧 FFT（Fast Fourier Transformation）是離散傅氏變換（DFT）的快速演算法。即為快速傅氏變換。它是根據離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變 裝虛擬機的教程小編我終於弄好了！ ges 1-1 blog es2017 img log alt nbsp 系列 下面是一系列圖片，各種解釋都在圖片裏了，慢慢看喲！ 裝虛擬機的教程小編我終於弄好了！ 這次是分頁，看在我終於會的面子上，算是原創吧，哈哈哈 解釋原理先   分頁，就是將你需要的查詢結果，連同幾個變數，傳到前臺，就是這麼簡單。 舉例說，你需要查詢班級總共人數，以及每個人的詳情， 那麼你還需要額外計算幾個變數，比如，“記錄（也就是班級人數）”的總條數，一頁需要展現幾條（由你自己定）D，還有當前頁 以及總頁數。 總 一個App帶你學會Retrofit2.0，麻麻再也不用擔心我的網路請求了！ Retrofit、Retrofit、Retrofit，越來越多的人在玩這個網路請求框架，這個由squareup公司開源的網路請求框架確實挺好用，今天我們就來看一下這個東東怎麼玩！Retrofit作為一個簡化的HTTP請求庫其實已經有很長一段時間了，只不過在早期的版本里有些地方 終於開始我的java旅程了！ 查詢 3.3 今天 ase htm windows 歷史版本 1.8 .html 首先今天先裝了jdk1.7 ，找了半天，因為官網是都是讓你裝1.8的最新版本，地址如下： 所有jdk的歷史版本： http://www.oracle.com/technetwork/java/ 【原創】答《讀研or工作？對計算機類專業學習的看法》---如果再來一次，我不會讀研！ 題記:謹以此文貢獻給所有本科非211，985，且立志在程式設計屆有所作為的人！ 引言 這幾天，在園子裡看到一篇文章《讀研or工作?對計算機專業學習對看法》。坦白說，博主初看之下，就覺得略顯稚嫩，讀研和工作兩邊說好話。對此，博主有一些自己的見解，因此想談談。 觀點 我先說一下，自己的觀點。因為我自己是做java 我終於搞清楚了和String有關的那點事兒 String，是Java中除了基本資料型別以外，最為重要的一個型別了。很多人會認為他比較簡單。但是和String有關的面試題有很多，下面我隨便找兩道面試題，看看你能不能都答對： Q1：String s = new String("hollis");定義了幾個物件。 Q 我終於搞清楚了和String有關的那點事兒。 String，是Java中除了基本資料型別以外，最為重要的一個型別了。很多人會認為他比較簡單。但是和String有關的面試題有很多，下面我隨便找兩道面試題，看看你能不能都答對：Q1：String s = new String("hollis");定義了幾個物件。Q2：如何理解 耗時兩年，終於--我的新一代敏捷專案管理系統終於開發出來了！！歡迎下載使用 經過了近兩年的努力，我用Flex開發的敏捷專案管理系統Myteam終於初步完成了，這個系統包含了我個人對專案管理的部分理解和信念，也是我期望系統的樣子。當然還有一些不夠完善的地方，我還會繼續努力完善。這是我個人在許多個日夜奮力編碼、除錯、測試、修改，研究再開發、再除錯的結晶 開發自己的IDE（十），我終於搞定了智慧提示了哇哈哈     今天我終於實現了偉大的智慧提示了，真是渾身上下都在發光啊。這次智慧提示的程式碼可以在Vczh Library+ 3.0的頁面上看到。我使用了上一篇文章所提到的技術，在使用者輸入文字的時候，通過迅速獲得“當前編輯語句”的語法樹，再加上舊的“當前編輯語句”的作用域物件，來判斷使用者究竟處於整份 我的畢設終於搞定了！題為：利用Python開發一款遊戲！     現在來看一下實現的過程。 外形 俄羅斯方塊整個介面分為兩部分，一部分是左邊的遊戲區域，另一部分是右邊的顯示區域，顯示得分、速度、下一個方塊樣式等。這裡就不放截圖了，看上圖就可以。 遊戲區域跟貪吃蛇一樣，是由一個個小方格組成的，為了看得直觀， 我終於深入參與了一個分散式系統了，好多想法不一樣了 前言 過去兩個月深入的參與了一個分散式系統的開發，記得之前有人說過“想成為架構師之前，都是從微觀架構開始的”。儘管我從沒想過將來的某一天要成為一個架構師，或者領域專家，我只是想萌萌噠的編碼，寫著自己喜歡的Code，和一群志同道合的朋友做出大家喜歡的商品和產品。但是工作久 sql2005安裝後沒有客戶端 這個問題困擾好多開發人員！我通過自己的摸索和總結 終於搞明白了！！！ Microsoft SQL Server Management Studio Express (SSMSE) 是一種免費、易用的圖形管理工具，用於管理 SQL Server 2005 Express Edition 和具有高階服務的 SQL Server 2005 Express Edition。 我終於看懂了HBase，太不容易了... ## 前言 > 只有光頭才能變強。 > **文字已收錄至我的GitHub精選文章，歡迎Star**：[https://github.com/ZhongFuCheng3y/3y](https://github.com/ZhongFuCheng3y/3y) 在我還不瞭解分散式和大資料的時候已 我終於弄懂了Python的裝飾器（一） **此係列文件：** [1. 我終於弄懂了Python的裝飾器（一）](https://www.bigyoung.cn/posts/91/) [2. 我終於弄懂了Python的裝飾器（二）](https://www.bigyoung.cn/posts/92/) [3. 我終於弄懂了Python的裝飾器（ 我終於弄懂了Python的裝飾器（二） **此係列文件：** [1. 我終於弄懂了Python的裝飾器（一）](https://www.bigyoung.cn/posts/91/) [2. 我終於弄懂了Python的裝飾器（二）](https://www.bigyoung.cn/posts/92/) [3. 我終於弄懂了Python的裝飾器（ 2020我終於成功搭建了Metasploitable3靶機 0x00前言 在學習metasploit時我們往往需要一個靶場，下面為大家介紹一下如何在虛擬機器中安裝metasploitable 3靶場。Metasploitable3是Metasploitable2的升級版本，它是一個虛擬靶機系統，裡面含有大量未被修復的安全漏洞，它主要是用於metasploit-fram 16天5面，我終於拿到了鵝廠Offer [TOC] > 上一篇 [我在華為OD的275天](https://www.cnblogs.com/shoufeng/p/14322931.html) 最後說，要講講自己為什麼會堅持在年底離職，以及離開後去了哪兒。趁週末，鴿王本鴿來交下作業 深入 Python 直譯器原始碼，我終於搞明白了字串駐留的原理！ 英文：https://arpitbhayani.me/blogs/string-interning 作者：arpit 譯者：豌豆花下貓（“Python貓”公眾號作者） 宣告：本翻譯是出於交流學習的目的，基於 CC BY-NC-SA 4.0 授權協議。為便於閱讀，內容略有改動。 每種程式語言為了表現出色 看完了程序同步與互斥機制，我終於徹底理解了 PV 操作 $