二叉樹的順序儲存和基本操作
阿新 • • 發佈：2019-01-06
一、二叉樹的定義：
二叉樹是n個結點的有限集合，當n=0時稱為空樹，否則：（1）有且只有一個特殊的被稱為樹的根結點；（2）若n>1時，其餘的結點被分為兩個互不相交的子集，稱為左右子樹，並且左右子樹都是二叉樹；可以看出二叉樹的定義是遞迴的。
二、二叉樹的性質：
（1）在非空二叉樹上，第i層至多有2^(i-1)個結點；
（2）深度為k的二叉樹至多有2^k-1個結點；
（3）對任何一個二叉樹，若其葉子結點數為n0，度為2的節點數為n2，則n0=n2+1；
滿二叉樹：一課深度為k且有2^k-1個結點的二叉樹。
完全二叉樹：如果深度為k，有n個結點的二叉樹，當且僅當其每一個結點都與深度為k的滿二叉樹中編號從1到n的結點一一對應，該二叉樹稱為完全二叉樹。2^(k-1)<=n<=2^k-1
（4）n個結點的完全二叉樹的深度k=[log2 n]+1,這裡這個符號[x]表示小於等於x的整數;(證明過程，對上述n的不等式取對數）
（5）若對一棵有n個結點的完全二叉樹(深度為└㏒2n┘+1)的結點按層（從第1層到第㏒2n +1層)序自左至右進行編號,則對於編號為i（1≦i≦n)的結點：
1、若i=1：則結點i是二叉樹的根，無雙親結點；否則，若i>1，則其雙親結點編號是
[i/2]。
2、 如果2i>n：則結點i為葉子結點，無左孩子；否則，其左孩子結點編號是2i。
3、 如果2i+1>n：則結點i無右孩子；否則，其右孩子結點編號是2i+1。
三、二叉樹的儲存結構
1、順序儲存結構：
typedef char ElemType; typedef struct stree { ElemType bitTree[MAX_SIZE]; int pointer; //number of points }STree; //init void STree_Init(STree &T) { for(int i=0;i<MAX_SIZE;++i) T.bitTree[i]='0'; T.pointer=0; } //insert root int STree_insert_Root(STree &T,ElemType e) { T.bitTree[1]=e; T.pointer++; return 1; } //insert left int STree_insert_Left(STree &T,int i,ElemType e) { if(i>=MAX_SIZE || i<0) { cout<<"argument is false!"<<endl; return -1; } T.bitTree[2*(i+1)]=e; T.pointer++; return 1; } //insert right int STree_insert_Right(STree &T,int i,ElemType e) { if(i>=MAX_SIZE || i<0) { cout<<"argument is false!"<<endl; return -1; } T.bitTree[2*(i+1)+1]=e; T.pointer++; return 1; } // int STree_delete_Left(STree &T,int i,ElemType *x_left) { if(i>=MAX_SIZE || i<0) { cout<<"argument is false!"<<endl; return -1; } *x_left=T.bitTree[2*(i+1)]; T.pointer--; return 1; } // int STree_delete_Right(STree &T,int i,ElemType *x_right) { if(i>=MAX_SIZE || i<0) { cout<<"argument is false!"<<endl; return -1; } *x_right=T.bitTree[2*(i+1)+1]; T.pointer--; return 1; } int STree_delete_Root(STree &T,ElemType *x_root) { *x_root=T.bitTree[1]; T.pointer--; return 1; } // bool STree_empty(STree &T) { return T.pointer==0; }
2、三種遍歷方式：前序、中序、後序
遞迴形式的遍歷方式
//前序遍歷
void STree_Traver_1(STree &T,int i)
{
cout<<T.bitTree[i]<<" ";
if(T.bitTree[2*i]!='0')
STree_Traver_1(T,2*i);
if(T.bitTree[2*i+1]!='0')
STree_Traver_1(T,2*i+1);
}
//中序遍歷
void STree_Traver_2(STree &T,int i)
{
if(T.bitTree[2*i]!='0')
STree_Traver_2(T,2*i);
cout<<T.bitTree[i]<<" ";
if(T.bitTree[2*i+1]!='0')
STree_Traver_2(T,2*i+1);
}
//後序遍歷
void STree_Traver_3(STree &T,int i)
{
if(T.bitTree[2*i]!='0')
STree_Traver_3(T,2*i);
if(T.bitTree[2*i+1]!='0')
STree_Traver_3(T,2*i+1);
cout<<T.bitTree[i]<<" ";
}//前序遍歷
int STree_Traver_1_no(STree &T)
{
stack<int> s({'0'});
int p=1,q;
if(STree_empty(T))
{
cout<<"tree is empty!"<<endl;
return -1;
}
do{
cout<<T.bitTree[p]<<" ";
q=p*2+1;
if(T.bitTree[q]!='0')
s.push(q);
p=p*2;
if(T.bitTree[p]=='0') //到樹的底部了，回退
{
p=s.top();
s.pop();
}
}while(T.bitTree[p]!='0');
return 1;
}
//中序遍歷
int STree_Traver_2_no(STree &T)
{
stack<int> s;
int p=1;
int b=1;
/*
if(STree_empty(T))
{
cout<<"tree is empty!"<<endl;
return -1;
}
*/
do
{
while(T.bitTree[p]!='0')
{
s.push(p);
p=p*2;
}
if(s.empty()) b=0;
else {
p=s.top();
s.pop();
cout<<T.bitTree[p]<<" ";
p=p*2+1;
}
}while(b!=0);
return 1;
}
//後序遍歷
int STree_Traver_3_no(STree &T)
{
int p=1;
int b=1,top=0;
int s1[20],s2[20];
do
{
while(T.bitTree[p]!='0')
{
s1[++top]=p;
s2[top]=0;
p=p*2;
}
if(top==0) b=0;
else if(s2[top]==0)
{
p=s1[top]*2+1;
s2[top]=1;
}
else
{
p=s1[top];
top--;
cout<<T.bitTree[p]<<" ";
T.bitTree[p]='0';
}
}while(b!=0);
return 1;
}