嗯哼哼

說下變換

為什麼要進行變換

因為變換後，在新空間下運算變得簡單，或者說 在變化下之前複雜難以觀察的規律變得容易觀察了

其實變換的實質就是旋轉與拉伸

（圖片來自：https://www.zhihu.com/question/20501504/answer/174887899）

比如傅立葉變換  k-l變換 希爾伯特空間的正交變換（嗯哼，下篇重點說明）

嗯哼哼 這就引出了相似矩陣

什麼是相似矩陣呢

就是說實現是一個線性變換在不同空間上

嗯哼哼  比如  對v向量進行B的線性變化  可以將其先進行P變化使其對映到新空間的另一個點 

而這個點同一個線性變換時的矩陣是A然後再通過P逆使其映射回之前的空間

就說B     和  A相似

但是  有木有發現 本來一個變換 變得要做三個變換 不是得不償失呀

嗯哼哼 

雖然說三個變化 但是我們關心的只是A這個變換

而A這個變化 如果變成只是拉伸的對角矩陣的話，那麼 不用求P的話 ，A矩陣也能求出來

也就是說我們的目的只是為了求A而已 再觀察在A的變換下特點

怎麼求A呢

嗯哼哼 

這就是引入特徵值和特徵向量

嗯哼哼 通過A變換  相當於對向量v進行伸縮變換

所以 如果相似矩陣可以進行對角化 那麼其對角化上的元素就是其特徵值

證明賊簡單

設B為對角化矩陣

PB     = AP  

P寫成列向量的形式

會得到

Ax = λx

會發現 一個特別有趣的地方

首先 P是由A的特徵向量構成   哈哈哈哈哈哈

 P可逆  所以其列向量x1 ..... xn 線性無關 也就是 A有n個線性無關的特徵向量  

嗯哼哼  

再來更特殊的

如果P是正交矩陣 那麼其逆一定可逆且為其的轉置

什麼時候P是正交矩陣呢

A為實對稱矩陣的時候（證明百度以下就出來 ）

其實首先證明的A是實對稱矩陣，只要特徵值不相同 其對應特徵向量都正交

嗯哼哼 

正交的概念 是其內積為0

又因為其特徵向量都是線性無關所以 可將其特徵值相同的特徵向量正交化

所以 就組成一個正交矩陣咯

嗯哼哼 什麼是正交變換 

就是說

在正交矩陣的變換下

得出來的還是正交矩陣

正交矩陣的性質

嗯哼哼 且正交矩陣的逆也是正交矩陣

而正交變換有一堆優秀的性質

內積範數（長度）都不變 所以夾角也不變

所以 老是喜歡正交變換

嗯哼哼 還能引出其另一個定義

則 A是正交變換