身份證校驗—神祕三位數—生日相同概率—四方定理—因數分解—組合數

①身份證校驗

如果讓你設計個程式，用什麼變數儲存身份證號碼呢？長整數可以嗎？不可以！
因為有人的身份證最後一位是"X"
實際上，除了最後一位的X，不會出現其它字母！
身份證號碼18位 = 17位 + 校驗碼
校驗碼的計算過程：
例如：身份證前17位 = ABCDEFGHIJKLMNOPQ

A~Q 每位數字乘以權值求和（每位數字和它對應的“權”相乘後累加）
17位對應的權值分別是：
7  9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2

求出的總和再對11求模
然後按下表對映：
餘數 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
校驗碼： 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 

char verifyCode(char* s)
{
	static int weight[] = {7,9,10,5,8,4,2,1,6,3,7,9,10,5,8,4,2};
	static char map[] = {'1','0','X','9','8','7','6','5','4','3','2'};

	int sum = 0;
	for(int i=0; i<17; i++)
	{
		sum += (______________) * weight[i];  // 填空
	}

	return map[____________];  // 填空
}

根據餘數進行相應對映，唯一注意一點就是，進來的字元肯定不是整型，需要減去48(即‘0’).

答案：s[i] - '0'                   sum % 11

②神祕的三位數

有這樣一個3位數，組成它的3個數字階乘之和正好等於它本身。即：abc = a! + b! + c!
下面的程式用於搜尋這樣的3位數。

int JC[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
	int i;
	for(i=100; i<1000; i++)
	{
		int sum = 0;
		int x = i;
		while(__________)
		{
			sum += JC[x%10];
			x /= 10;
		}
		if(i==sum) printf("%d\n", i);
	}
 

那就像判斷水仙花數一樣，%10再/10的迴圈。

答案：x>0

③生日相同的概率

生活中人們往往靠直覺來進行粗略的判斷，但有的時候直覺往往很不可靠。比如：如果你們班有30名同學，那麼出現同一天生日的概率有多大呢？你可能不相信，這個概率高達70%左右。
以下的程式就是用計算機隨機模擬，再統計結果。

#define N 30
	......
	int a[N];
	srand( time( NULL ) );
	int n = 0;
	for(int k=0; k<10000; k++)
	{
		for(int i=0; i<N; i++)
			a[i] = rand() % 365;
		bool tag = false; // 假設沒有相同
		for(i=1; i<N; i++)
		{
			for(int j=0; j<i; j++)
			{
				if(a[i]==a[j]) 
				{
					tag = true;
					break;
				}
			}
			_____________________;
		}
		if(tag) n++;
	}

	printf("%f\n", 1.0 * n / 10000 * 100);

言歸正傳，解題。這道題，其實我沒怎麼大看，就看到當tag為true時，n++，但是當tag為true時候，雖然break，裡面有兩層for，於是乎，恍然大悟鳥。。。有時候解題並非要全弄懂他的方法，比賽時間有限啊= 。=

答案： if(tag) break;

④四方定理

數論中有著名的四方定理：所有自然數至多隻要用四個數的平方和就可以表示。
我們可以通過計算機驗證其在有限範圍的正確性。
對於大數，簡單的迴圈巢狀是不適宜的。下面的程式碼給出了一種分解方案。

int f(int n, int a[], int idx)
{
	if(______________) return 1;  // 填空1
	if(idx==4)  return 0;

	for(int i=(int)sqrt(n); i>=1; i--)
	{
		a[idx] = i;

		if(_______________________)  return 1;  // 填空2
	}

	return 0;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
	for(;;)
	{
		int number;
		printf("輸入整數(1~10億)：");
		scanf("%d",&number);
		
		int a[] = {0,0,0,0};

		int r = f(number, a, 0);

		printf("%d: %d %d %d %d\n", r, a[0], a[1], a[2], a[3]);
		
	}

	return 0;
}

其實不難，仔細一想就明白了，for迴圈在找i,找到以後，肯定要向下遞迴下去，那肯定是要執行f函數了，執行f函式會返回值的，一個return0，一個return1，什麼時候return1呢？必然就是當它返回1時，不斷return1,回到主函式。

答案：n==0     f(n-i*i, a, idx+1) == 1

⑤因數分解

因數分解是十分基本的數學運算，應用廣泛。下面的程式對整數n(n>1)進行因數分解。

比如，n=60, 則輸出：2 2 3 5。請補充缺失的部分。

void f(int n)
{
	for(int i=2; i<n/2; i++)
	{
		____________________
		{
			printf("%d ", i);
			n = n / i;
		}
	}
	if(n>1) printf("%d\n", n);
}

這道題，顯然也是，你會發現i是一直在++的，例子中也出現了，有可能有兩個2的情況。怎麼回事呢？

我以前做用的是兩個for，然後，找到以後i--，使得i再次為原值，進行判斷。

除了for迴圈就剩下while了，所以咯，答案一躍而出啊。

答案：while(n%i==0)

⑥組合數

從4個人中選2個人參加活動，一共有6種選法。
從n個人中選m個人參加活動，一共有多少種選法？下面的函式實現了這個功能。

// n 個元素中任取 m 個元素，有多少種取法
int f(int n, int m)
{
	if(m>n) return 0;
	if(m==0) _______________;

	return f(n-1,m-1) + _____________;
}

n個人選m個就是Cnm

當m==0？  C30==C33==1咯，所以return 1

第二個空如果想不起來，你不妨看一下判斷條件，出現m>n return 0，輸入的內容不會有m>n的情況吧？

所以只能是，我們遞迴的時候出現啦。

答案：   return 1      f(n-1,m)