0 可能需要預習的知識

線性空間

1 線性標量值函式

(i)設X是域K上的線性空間。L是定義在X上的標量值函式：L ： X->K

如果對任意x，y∈X都有：L(x+y)=L(x)+L(y)

對任意x∈X k∈K 都有：L(kx) = kL(x)

則稱L是線性標量值函式(下邊簡稱為線性函式)

(i) 線性函式之和依照函式在每一點的加法定義,設L,M為兩個線性函式：

(L+M)x = L（x）+M（x）

(iii)線性函式的數乘運算依照函式在每一點的數乘：

(5L)x=5(L(x))

2 對偶空間

(i)對偶空間是線上性空間的概念基礎上再次抽象得到的概念。並且對偶空間有著很多的應用，這裡為了引出轉置的概念，因此不做過多深入的探討

(ii)線性空間X上的全體線性函式本身構成一個線性空間,這個空間叫做X的對偶空間記做X’ (根據上邊線性函式的性質很容易證明這是一個線性空間，證明省略).

(iii)對偶空間的維度與原空間相同，因此他們的元素具有相同的分量數。

(iv)如果我們讓一個線性空間X是全體有n個分量的列向量組成的空間。讓他的對偶空間X'是全體有n個行向量組成的空間。

那麼取a∈X ,b∈X’則下邊是對偶空間中的元素作用在其對應的線性空間上的元素的一個例子:

3 線性對映的轉置

(i)線性空間X上的對映T：X->U  L屬於U‘（即L是U上的線性函式）令m=LT  則m ∈X’：

m(x)= L(Tx). 這就將U'中的一個函式對應到X'中，這種對應關係也是一個線性對映。叫做T的轉置。記做：

(其中的上標T是transpose的意思)

可以看出線性對映T的轉置實際上是T的目標空間的對偶空間到T的域空間的對偶空間的線性變換

4 矩陣的轉置：

(i)將上邊轉置的定義中的線性對映替換為矩陣（之前介紹過矩陣可以表示線性對映）,就得到了矩陣轉置的定義：

一個mxn的矩陣A對應於一個線性對映 T : R^n->R^m ，它將一個n維向量對映為一個m維向量,而A的轉置的域空間是A的目標空間的對偶,

A轉置的目標空間是A的域空間的對偶。因此A的轉置是由m維空間到n維的線性對映。所以 A的轉置 是一個nxm的矩陣。

A的轉置記法同上有些地方也記做：A' (如matlab)

(ii)轉置矩陣的求法：觀察一下三個對映：

將他們對應到矩陣的話：

L是一個mx1行向量 

T是mxn的矩陣

x是1xn的列向量

現在令 m(x)=L(T(x))=(LT)x

根據上邊對映的轉置的概念有：

m(x)=(T'L)x 因此有：

T‘L=LT (這個式子需要注意它對線性對映來說是沒問題的，但是換成矩陣會出現問題如果左邊的L還是行向量的話。卻不滿足矩陣乘法。也就是說如果用這個式子做計算的

話，需要將L改寫成列的形式，以滿足矩陣乘法的要求。)

根據這個式子有T’的一行乘L等於L乘T的一列.也就是說將T的每一行寫成一個列這樣得到的新矩陣就是T‘

總結出來也就是：

5 矩陣轉置的性質（S,T,R為矩陣）

(i)(ST)'=T'S'

證明：假設矩陣對應以下對映：

T：X->U S:U->V, L:V->K(k是實數域這樣L實際是V對偶空間中的元素)。令m：X->K於是有：

m = LST = L(ST) = (ST)' L 又：

m = LST = (LS)T = T'(LS) = T'(S'L)=T'S'L

綜上(ST)'=T'S'

(ii)(T+R)'=T'+R'(易證)

(iii)(T^-1)'=(T')^-1

證明：令

T：X->U, L:U->K(k是實數域這樣L實際是U對偶空間中的元素)。令m：X->K於是有：

(iv)T''=T(易證)