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>>> import numpy
>>> vec1=[[1,1,1],[2,2,2]]
>>> vec2=[[2,2,2],[1,1,1]]
>>> vec1=numpy.array(vec1)
>>> vec2=numpy.array(vec2)
>>> vec1
array([[1, 1, 1],
       [2, 2, 2]])
>>> vec2
array([[2, 2, 2],
       [1, 1, 1
 
]])
>>> dist = numpy.sqrt(numpy.sum(numpy.square(vec1 - vec2)))  
>>> dist
2.4494897427831779
>>> numpy.linalg.norm(vec1-vec2)
2.4494897427831779

餘弦相似度：

>>> vec1
array([[1, 1, 1],
       [2, 2, 2]])
>>> vec2
array([[2, 2, 2],
       [1, 1, 1]])
>>> 
 
num=float(numpy.sum(vec1*vec2))
>>> num
12.0
>>> denom=numpy.linalg.norm(vec1)*numpy.linalg.norm(vec2)
>>> cos=num/denom
>>> denom
15.000000000000002
>>> cos
0.79999999999999993
>>> sim=0.5+0.5*cos
>>> sim
0.89999999999999991

兩者相同的地方，就是在機器學習中都可以用來計算相似度，但是兩者的含義有很大差別，以我的理解就是：

前者是看成座標系中兩個 點 ，來計算兩點之間的 距離 ；

後者是看成座標系中兩個 向量 ，來計算兩向量之間的 夾角 。

前者因為是 點 ，所以一般指 位置 上的差別，即 距離 ；

後者因為是 向量 ，所以一般指 方向 上的差別，即所成 夾角 。

如下圖所示：

資料項A和B在座標圖中當做點時，兩者相似度為距離dist(A,B)，可通過歐氏距離（也叫歐幾里得距離）公式計算：

當做向量時，兩者相似度為cosθ，可通過餘弦公式計算：

假設||A||、||B||表示向量A、B的2範數，例如向量[1,2,3]的2範數為：

√(1²+2²+3²) =  √14 

numpy中提供了範數的計算工具： linalg.norm()

所以計算cosθ起來非常方便（假定A、B均為列向量）：

num = float(A.T * B) #若為行向量則 A * B.T
denom = linalg.norm(A) * linalg.norm(B)
cos = num / denom #餘弦值
sim = 0.5 + 0.5 * cos #歸一化

因為有了linalg.norm()，歐氏距離公式實現起來更為方便：

dist = linalg.norm(A - B)
sim = 1.0 / (1.0 + dist) #歸一化

關於歸一化：

因為餘弦值的範圍是 [-1,+1] ，相似度計算時一般需要把值歸一化到 [0,1]，一般通過如下方式：

sim = 0.5 + 0.5 * cosθ 
若在歐氏距離公式中，取值範圍會很大，一般通過如下方式歸一化：

sim = 1 / (1 +  dist ( X,Y ))

說完了原理，簡單扯下實際意義，舉個栗子吧：

例如某T恤從100塊降到了50塊（A(100,50)），某西裝從1000塊降到了500塊（B(1000,500)）

那麼T恤和西裝都是降價了50%，兩者的價格變動趨勢一致，餘弦相似度為最大值，即兩者有很高的 變化趨勢相似度

但是從商品價格本身的角度來說，兩者相差了好幾百塊的差距，歐氏距離較大，即兩者有較低的 價格相似度

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