剛接觸遞迴的同學，可能難以理解遞迴，難以理解的點可能很多，例如：

1.函式為什麼可以在自己的內部又呼叫自己呢?

2.既然可以自己呼叫自己，那麼遞迴執行過程中一定回有很多層相互巢狀，到底什麼時候不再巢狀呢？

3.遞迴執行過程中，相互巢狀的多層之間會有引數傳遞，多層之間是否會相互影響？

遞迴兩個要素

1.遞迴邊界

2.遞迴的邏輯——遞迴"公式"

遞迴的過程一定有引數的變化，並且引數的變化，和遞迴邊界有關係.

在難度較大的題目中，這兩者均不容易直接得到.

遞迴的種種問題，也許理解的同學可能可以用一句話解釋清楚，但是不理解的同學再怎麼說也沒辦法理解.

下面通過幾個簡單的例子【體會】一下遞迴，先從【感性】的角度理解遞迴.

1.Fibonacci數

我們直到Fibonacci數的遞推公式為：F(0)=F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) n>=2;

這個明顯地給出了遞迴邊界n=0或1的時候F(n)的值，和遞迴邏輯F(n)=F(n-1)+F(n-2)，即遞推公式.所以這個遞迴函式不難書寫

#include<iostream>
using namespace std;

int F(int n)//函式返回一個數對應的Fibonacci數
{
	if(n==0 || n==1)//遞迴邊界
		return 1;
	return F(n-1) + F(n-2);//遞迴公式
}

int main()
{
	//測試
	int n;
	while(cin >> n)
		cout << F(n) << endl;

	return 0;
}
 

階乘的遞迴公式為：

程式碼如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int F(int n)
{
	if(n==0)//遞迴邊界
		return 1;

	return n*F(n-1);//遞迴公式
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	cout << F(n) << endl;

	return 0;
}

3.陣列求和

給一個數組a[]:a[0],a[1],...,a[n-1]如何用遞迴的方式求和？

仍然是兩個問題：遞迴邊界和遞迴公式.

遞迴邊界是什麼？一時不容易想到，但是我們想到了求和，多個數的求和過程是什麼，x,y,z,w手動求和的過程是什麼？步驟如下：

x+y=a,任務變為a,z,w求和

a+z=b,任務變為b,w求和

b+w=c得出答案

思考一下，【得出答案】這一步為什麼就可以得出答案呢？(廢話？)是因為，一個數不用相加就能得出答案.

所以，遞迴的邊界就是隻有一個數.

所以，遞迴邊界有了，那麼遞迴公式呢？其實手動計算過程中，隱含了遞迴公式：

其中+為求兩個數的和，F為求多個數的和的遞迴函式.程式碼如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int F(int a[],int start,int end)
{
	if(start==end)//遞迴邊界
		return a[start];

	return a[start] + F(a,start+1,end);//遞迴公式
}

int main()
{
	int a[] = {1,2,3,4,5};
	int s=0,e=4;
	cout << F(a,s,e) << endl;

	return 0;
}

4.求陣列元素最大值

手動求最大值的過程是什麼，遍歷+比較，過程如下：

例如，求3,2,6,7,2,4的最大值：先設定最大值max=-999999，然後將max和陣列元素逐個(遍歷)比較如果a[i]>max，則更新max的值為a[i]，否則max不變，繼續向後遍歷，直到遍歷結束.

max<3，則max=3

max>2，max=3不變

max<6，則max=6

max<7，則max=7

max>2，max=7不變

max>4，max=7不變

遍歷結束，max=7為最大值.

和求和類似，遞迴的公式如下：

其中max為求兩個數的較大值函式，F為求多個數的最大值的遞迴函式.程式碼如下：

#include<iostream>
using namespace std;

#define max(a,b) (a>b?a:b)

int F(int a[],int s,int e)
{
	if(s==e)
		return a[s];
	else if(s+1 == e)//遞迴邊界
		return max(a[s],a[e]);

	return max(a[s],F(a,s+1,e));//遞迴公式!!!
}

int main()
{
	int a[] = {5,1,4,6,2};
	int s = 0,e = 4;
	cout << F(a,s,e) << endl;

	return 0;
}

之所以，說上面的幾個例子是【簡單例子】，是因為上述所有的遞迴都屬於【單向遞迴】.單向遞迴，遞迴的路徑就是一個方向，所以思路相對比較容易想到.

較難的遞迴問題，一般都不是單向遞迴，而是需要使用【回溯】的方法，遞迴的方法不太容易想到.