概述

• 邏輯斯蒂迴歸實質是對數機率迴歸（廣義的線性迴歸），是用來解決分類問題的。
• 其中sigmoid用來解決二分類問題，softmax解決多分類問題，sigmoid是softmax的特殊情況。
• 數學建模直接針對分類可能性建模。
• 引數學習可用極大似然估計或貝葉斯估計，利用極大似然估計求得的目標函式與交叉熵損失一致。
• 梯度下降之sigmoid和softmax函式的求導。

一、基本的數學概念和推導

1. logistic函式（也叫logistic分佈函式）

• logistic函式形如“S”,具體公式如下：
  f(x)=L1+e−k(x−x0)$f(x)=\frac{L}{1+e^{-k(x-x_0)}}$
  其中：
  x0$x_0$代表中點，L$L$代表函式的最大值，k$k$代表曲線的陡度。
• 標準的logistic函式（即sigmoid函式），x0=0，k=1,L=1$x_0=0，k=1,L=1$，即：
  f(x)=11+e−x$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$
  

• 概念
  sigmoid是logistic函式的特例，如上所述，x0=0，k=1,L=1$x_0=0，k=1,L=1$時，logistic函式就退化為sigmoid函式。
  

  f(x)=11+e−x$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

• 考察sigmoid函式的性質

  • 關於（0,0.5)中心對稱
  • 值域：f(x)∈$f(x)\in$[0,1]
  • 梯度飽和：x→∞,f(x)→0$x\to \mathrm{\infty },f(x)\to 0$
  • 簡單變形：
    f(
    x)=11+e−x=ex1+exex1+ex=1−e−x1+e−x→f(x)=1−f(−x)$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{e^x}{1+e^x}\frac{e^x}{1+e^x}=1-\frac{{e^{-}}^x}{1+{e^{-}}^x}\to f(x)=1-f(-x)$$
  • 導數
    f′(x)=f(x)×(1−f(x))∈[0,14]$f^{{\prime }^{}}(x)=f(x)\times (1-f(x))\in [0,\frac{1}{4}]$，梯度飽和的原因。推導如下：
    f′(x)=(11+e−x)′=e−x(1+e−x)2=e−x1+e−x×11+

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