二維空間點到直線垂足計算公式推導及Java實現

• 前言
• 公式推導
• 程式碼實現
• 畫蛇添足

前言

簡單的公式推導，大概是高中程度的知識了。不管以前學的好不好，很久不用的東西，一上手還是有點懵的。推導一遍也是為了加深記憶。

公式推導

首先我們知道直線上兩點p1,p2：
$p_1:(x_1,y_1)$$p_2:(x_2,y_2)$
和直線外一點p3：
$p_3:(x_3,y_3)$
現在我們要求p3在直線p1p2上的垂足p4：
$p_4:(x_4,y_4)$

程式碼實現

private Point getFoot
 
(Point p1,Point p2,Point p3){
        Point foot=new Point();
        
        float dx=p1.x-p2.x;
        float dy=p1.y-p2.y;
        
        float u=(p3.x-p1.x)*dx+(p3.y-p1.y)*dy;
        u/=dx*dx+dy*dy;
        
        foot.x=(int)(p1.x+u*dx);
        foot.y=(int)(p1.y+u*dy);
        
        return foot;
    }

程式碼很簡單，不解釋了，參照上面推導的式子（2）和式子（3）

畫蛇添足

這裡多提一點。實際運用中，有的時候需要的只是把點對映在一條線段上，這時會出現一種情況，就是我們計算得到的垂足p4線上段p1p2的延長線上而不是落在p1、p2之間，此時我們需要把p4對映到線段的兩個端點（即p1或p2）上。針對此情況修改程式碼：

private Point getFoot(Point p1,Point p2,Point p3){
        Point foot=new Point();

        float dx=p1.x-p2.x;
        float dy=p1.y-p2.y;

        float u=(p3.x-p1.x)*dx+(p3.y-p1.y)*dy;
        u/=dx*dx+dy*dy;

        foot.x=(int)(p1.x+u*dx);
        foot.y=(int)(p1.y+u*dy);

        float d=Math.abs((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.x-p2.y));
        float d1=Math.abs((p1.x-foot.x)*(p1.x-foot.x)+(p1.y-foot.y)*(p1.x-foot.y));
        float d2=Math.abs((p2.x-foot.x)*(p2.x-foot.x)+(p2.y-foot.y)*(p2.x-foot.y));

        if(d1>d||d2>d){
            if (d1>d2)  return p2;
            else return p1;
        }

        return foot;
    }