BZOJ
洛谷

題意的一點說明：
\(k\)次方這個\(k\)是固定的，也就是最初需要多少張褻瀆，每次不會改變；
因某個怪物死亡引發的褻瀆不會計分。

不難發現當前所需的張數是空格數+1，即\(m+1\)。
貢獻不妨寫成：\(\sum_{i=1}^ni^{m+1}-\sum_{i=1}^mA_i^{m+1}\)。注意此時的\(A_i\)是剩下的空格（具體看程式碼最底下的暴力部分吧）。
所以問題在於求\(\sum_{i=1}^ni^{m+1}\)。自然數冪和有很多種求法。

這裡寫插值做法：
\(\sum_{i=1}^ni^{m}\)是一個以\(n\)為自變數的\(m+1\)次多項式，我們代入\(m+2\)

寫一下拉格朗日插值的式子及實現（具體見這裡或這裡）：
\[f(x)=\sum_{i=0}^ny_i\prod_{j\neq i}\frac{x-x_i}{x_i-x_j}\]

當\(x_i\)取\(i\)時：
\[f(x)=\sum_{i=0}^ny_i\prod_{j\neq i}\frac{x-i}{i-j}\]

對於\(x\)，預處理字首積、字尾積：\(pre_j=\prod_{i=0}^jx-x_i,\;suf_j=\prod_{i=j}^nx-x_i\)

就可以\(O(n)\)計算\(f(x)\)了。

//824kb 36ms
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define mod 1000000007
#define Mod(x) x>=mod&&(x-=mod)
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
#define Add2(x,y) (x+y>=mod?x+y-mod:x+y)
typedef long long LL;
const int N=55;

int ifac[N],y[N];
LL A[N];

inline int FP(int x,int k)
{
    int t=1;
    for(; k; k>>=1,x=1ll*x*x%mod)
        if(k&1) t=1ll*t*x%mod;
    return t;
}
int F(const int x,const int m)//∑_{i=1}^x i^m 自變數為x的m+1次多項式 在x處的取值 
{
    static int pre[N],suf[N];
    const int lim=m+1;
    pre[0]=x, suf[lim+1]=1, Mod(suf[lim]);
    for(int i=1; i<=m; ++i) pre[i]=1ll*pre[i-1]*(x+mod-i)%mod;
    for(int i=lim; i; --i) suf[i]=1ll*suf[i+1]*(x+mod-i)%mod;
    LL ans=0;
    for(int i=0,up,down; i<=lim; ++i)
    {
        if(i) up=1ll*pre[i-1]*suf[i+1]%mod*y[i]%mod;
        else up=1ll*suf[i+1]*y[i]%mod;
        down=(lim-i)&1?mod-1ll*ifac[i]*ifac[lim-i]%mod:1ll*ifac[i]*ifac[lim-i]%mod;
        ans+=1ll*up*down%mod;
    }
    return ans%mod;
}

int main()
{
    ifac[N-1]=956708188;
    for(int i=N-1; i; --i) ifac[i-1]=1ll*ifac[i]*i%mod;

    int T;
    for(scanf("%d",&T); T--; )
    {
        LL n; int m; scanf("%lld%d",&n,&m), n%=mod;
        for(int i=1; i<=m; ++i) scanf("%lld",&A[i]);
        std::sort(A+1,A+1+m);
        for(int i=1; i<=m; ++i) A[i]%=mod;//sort後再取模！

        LL ans=0; ++m, y[0]=0;
        for(int i=1; i<=m+1; ++i) y[i]=y[i-1]+FP(i,m), Mod(y[i]);
        for(int t=0; t<m; ++t)
        {
            ans+=F(Add2(n,mod-A[t]),m);// for(int i=1; i<=n; ++i) ans+=FP(i,m);
            for(int i=t; i<m; ++i) ans-=FP(Add2(A[i],mod-A[t]),m);
        }
        printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}
//BruteForce:
//      ++m;
//      for(int t=1; t<=m; ++t)
//      {
//          for(int i=1; i<=n; ++i) ans+=FP(i,m);
//          for(int i=t; i<m; ++i) ans-=FP(A[i],m);
//          for(int i=t+1; i<m; ++i) A[i]-=A[t];
//          n-=A[t];
//      }