這個情況下，我們不再考慮切幾刀，而是圓周上有n個點，每一刀的刀痕都必須通過圓周上這n個點中的兩個點的情況。求最大分割數。
這個問題有一個非常有趣又詭異的答案
當只有1個點的時候，最多隻能有1$1$個區域
當有2個點的時候，最多可以分成2$2$個區域
當有3個點的時候，最多可以分成4$4$個區域
當有4個點的時候，最多可以分成8$8$個區域
當有5個點的時候，最多可以分成16$16$個區域
似乎是非常簡單的規律，然而：
當有6個點的時候，最多隻能分成31$31$個區域了，差一個就滿足2n−1$2^{n-1}$的規律了，但已經不太對了
當有7個點的時候，最多隻能分成57$57$個區域了，差的有點多
當有8個點的時候，最多是

99$99$個區域
當有9個點的時候，最多是163$163$個區域了
然而，後面又出現一個巧合，
當有10個點的時候，最多是256$256$個區域了，雖然不是29=512$2^9=512$，但是2$2$的冪再次出現

解題主要的思路是根據尤拉示性數公式（Euler’s Characteristic Formula）：V-E+F=2
解釋一下這個公式，這是指在聯通的平面圖（Planar graph）上，頂點的個數-邊的調數+平面區域的個數=2
舉個例子：
下圖中有5個頂點，8條邊，5個平面區域（其中第五個區域是環繞1234區域的無限大平面）

尤拉公式的證明這裡不給出

因為切蛋糕問題也可以變成一個平面圖問題，我們為了得到蛋糕可以分成的塊數，即F，只剩下了兩步：

1. 求出平面圖中頂點的個數
   我們需要判斷是否有多條切痕交於一個點的情況，但如果多條切痕交於圓內同一點，其實會導致能夠產生的平面區域數量減少，舉一個簡單的例子如下：第一張圖中心區域由於三切痕交於圓內一點，相比第二張圖少了一個區域。
   
   
   那麼，我們就從任意三條切痕都不交於圓內同一點的情況進行討論
   觀察下面這張圖，我們發現，任意一個交點（橙色箭頭）對應圓周上的四個點（紅色剪頭），換而言之，對於邊上有n個點的情況而言，圖中將會有C4n$C_n^4$個交點，此外還有n$n$個交點是本身存在的，所以圖中的總頂點數表示為：
   V=C4n+n$$V=C_n^4+n$$
   
2. 求出平面圖中邊的個數
   如果僅僅將切痕和圓周看作邊，原本就存在的頂點看作圖的頂點的話，圖中的邊其實是相交了的，這就不能算是平面圖了。所以我們將這些刀痕的交點也算作是圖的頂點。我們就得到了一張平面圖。
   如何計算邊的條數呢？
   在圖論中，有一個度（degree）的概念，對於無向圖來說（這篇博文中的內容都是無向圖），一個頂點的度數定義為與該頂點相連的邊的條數。由於任意三條刀痕都不交於圓內的同一點，所以圓內的所有交點由且僅由兩條切痕構成，所以這些點的度數是4，而圓周上的n個點中，由於每個點都會與其他n-1個點相連，而與最近的兩個點會連線兩條邊（一條是切痕，另一條是圓周），所以每個點的度數都是n+1
   所以圖中的總度數表示為
   Degree=4∗C4n+n(n+1)$$Degree=4\ast C_n^4+n(n+1)$$

度數跟邊的關係非常簡單，由於在無向圖中，每條邊都會給兩個頂點各貢獻一個度，所以無向圖中邊數就等於總度數的一半

E=2∗C4n+n(n+1)2=2∗C4n+C2n+1=2∗C4n+C2n+C1n$$\begin{array}{rl}E& =2\ast C_n^4+\frac{n(n+1)}{2}\\ =2\ast C_n^4+C_{n+1}^2\\ =2\ast C_n^4+C_n^2+C_n^1\end{array}$$

根據尤拉示性數公式，

F=E−V+2=(2∗C4n+C2n+C1n)−(C4n+n)+2=C4n+C2n+2$$\begin{array}{rl}F& =E-V+2\\ =(2\ast C_n^4+C_n^2+C_n^1)-(C_n^4+n)+2\\ =C_n^4+C_n^2+2\end{array}$$
當然，由於這個F是考慮了圓外的那片無限大空間的，所以真實的結果還要減一，答案是：
C4n+C2n+C0n$$C_n^4+C_n^2+C_n^0$$

這個時候，我們結合帕斯卡三角（或者說楊輝三角）來看待最前面的那個詭異的現象是如何產生的。
因為Cmn=0,m>n$C_n^m=0,m>n$
所以最好的方法是將三角寫成如下矩陣，且行列都從0開始計數：
除去第0行，每個數都由其上方與左上方的數相加而得