NP問題就是指其解的正確性可以在多項式時間內被檢查的一類問題。比如說陣列求和，得到一個解，這個解對不對呢，顯然是可以在多項式時間內驗證的。再比如說SAT，如果得到一個解，也是能在多項式時間內驗證正確性的。所以SAT和求和等等都是NP問題。然後呢，有一部分NP問題的解已經可以在多項式時間內找到，比如陣列求和，這部分問題就是NP中比較簡單的一部分，被命名為P類問題。那麼P以外的NP問題，就是目前還不能夠在多項式時間內求解的問題了。會不會將來某一天，有大牛發明了牛演算法，把這些問題都在多項式時間內解決呢？也就是說，會不會所有的NP問題，其實都是P類問題呢，只是人類尚未發現呢？NP=P嗎？

可想而知，證明NP=P的路途是艱難的，因為NP問題實在太多了，要一一找到多項式演算法。這時

Stephen A. Cook這位大牛出現了，寫了一篇The Complexity of Theorem Proving Procedures，提出了一個NP-complete的概念。NPC指的是NP問題中最難的一部分問題，所有的NP問題都能在多項式時間內歸約到NPC上。所謂歸約是指，若A歸約到B，B很容易解決，則A很容易解決。顯然，如果有任何一道NPC問題在多項式時間內解決了，那麼所有的NP問題就都成了P類問題，NP=P就得到證明了，這極大的簡化了證明過程。那麼怎樣證明一個問題C是NP完全問題呢？首先，要證明C是NP問題，也就是C的解的正確性容易驗證；然後要證明有一個NP完全問題B，能夠在多項式時間內歸約到C。這就要求必須先存在至少一個NPC問題。這時Cook大牛就在1971年證明了NP完全問題的祖先就是SAT。SAT問題是指給定一個包含n個布林變數的邏輯式，問是否存在一個取值組合，使得該式被滿足。Cook證明了SAT是一個NPC問題，如果SAT容易解決，那麼所有NP都容易解決。Cook是怎樣做到的呢？

他通過非確定性圖靈機做到的。非確定性圖靈機是一類特殊的圖靈機，這種機器很會猜，只要問題有一個解，它就能夠在多項式時間內猜到。Cook證明了，SAT總結了該機器在計算過程中必須滿足的所有約束條件，任何一個NP問題在這種機器上的計算過程，都可以描述成一個SAT問題。所以，如果你能有一個解決SAT的好演算法，你就能夠解決非確定性圖靈機的計算問題，因為NP問題在非圖機上都是多項式解決的，所以你解決了SAT，就能解決所有NP，因此——SAT是一個NP完全問題。

感謝Cook，我們已經有了一個NPC問題，剩下的就好辦了，用歸約來證明就可以了。目前人們已經發現了成千上萬的NPC問題，解決一個，NP=P就得證，可以得千年大獎（我認為還能立刻獲得圖靈獎）。

那麼肯定有人要問了，那麼NP之外，還有一些連驗證解都不能多項式解決的問題呢。這部分問題，就算是NP=P，都不一定能多項式解決，被命名為NP-hard問題。NP-hard太難了，怎樣找到一個完美的女朋友就是NP-hard問題。一個NP-hard問題，可以被一個NP完全問題歸約到，也就是說，如果有一個NP-hard得到解決，那麼所有NP也就都得到解決了。

參考文獻：

1.什麼是P問題、NP問題和NPC問題 ：http://www.matrix67.com/blog/archives/105

2.P/NP/NPC/NP-hard概念的圖形解釋:

http://www.cnblogs.com/jpcflyer/archive/2012/04/15/2450622.html

3.什麼是NP問題，什麼是NP hard問題，什麼是NP完全問題 :

http://blog.csdn.net/com_stu_zhang/article/details/7248277