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文章推薦人：楊曉東

從傅立葉變換到小波變換，並不是一個完全抽象的東西，可以講得很形象。小波變換有著明確的物理意義，如果我們從它的提出時所面對的問題看起，可以整理出非常清晰的思路。
    下面就按照傅立葉-->短時傅立葉變換-->小波變換的順序，講一下為什麼會出現小波這個東西、小波究竟是怎樣的思路。
一、傅立葉變換
    關於傅立葉變換的基本概念在此我就不再贅述了，預設大家現在正處在理解了傅立葉但還沒理解小波的道路上。
    下面我們主要將傅立葉變換的不足。即我們知道傅立葉變化可以分析訊號的頻譜，那麼為什麼還要提出小波變換？答案“對非平穩過程，傅立葉變換有侷限性”。看如下一個簡單的訊號：

做完FFT（快速傅立葉變換）後，可以在頻譜上看到清晰的四條線，訊號包含四個頻率成分。

    一切沒有問題。但是，如果是頻率隨著時間變化的非平穩訊號呢？

如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩訊號。而下邊兩個則是頻率隨著時間改變的非平穩訊號，它們同樣包含和最上訊號相同頻率的四個成分。做FFT後，我們發現這三個時域上有巨大差異的訊號，頻譜（幅值譜）卻非常一致。尤其是下邊兩個非平穩訊號，我們從頻譜上無法區分它們，因為它們包含的四個頻率的訊號的成分確實是一樣的，只是出現的先後順序不同。

    可見，傅立葉變換處理非平穩訊號有天生缺陷。它只能獲取一段訊號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現的時刻並無所知。因此時域相差很大的兩個訊號，可能頻譜圖一樣。
    然而平穩訊號大多是人為製造出來的，自然界的大量訊號幾乎都是非平穩的，所以在比如生物醫學訊號分析等領域的論文中，基本看不到單純傅立葉變換這樣naive的方法。

    上圖所示的是一個正常人的事件相關電位。對於這樣的非平穩訊號，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道各個成分出現的時間。知道訊號頻率隨時間變化的情況，各個時刻的瞬時頻率及其幅值——這也就是時頻分析。

二、短時傅立葉變換（Short-time Fourier Transform,STFT）

    一個簡單可行的方法就是——加窗。 “把整個時域過程分解成無數個等長的小過程，每個小過程近似平穩，再傅立葉變換，就知道在哪個時間點上出現了什麼頻率了。”這就是短時傅立葉變換。
看圖：

時域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨著時間的變化情況了嗎！

用這樣的方法，可以得到一個訊號的時頻圖了：

——此影象來源於“THE WAVELET TUTORIAL”

       圖上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四個頻域成分，還能看到出現的時間。兩排峰是對稱的，所以大家只用看一排就行了。
    是不是棒棒的？時頻分析結果到手。但是STFT依然有缺陷。
    使用STFT存在一個問題，我們應該用多寬的窗函式？
    窗太寬太窄都有問題：

    窗太窄，窗內的訊號太短，會導致頻率分析不夠精準，頻率解析度差。窗太寬，時域上又不夠精細，時間解析度低。

    （這裡插一句，這個道理可以用海森堡不確定性原理來解釋。類似於我們不能同時獲取一個粒子的動量和位置，我們也不能同時獲取訊號絕對精準的時刻和頻率。這也是一對不可兼得的矛盾體。我們不知道在某個瞬間哪個頻率分量存在，我們知道的只能是在一個時間段內某個頻帶的分量存在。所以絕對意義的瞬時頻率是不存在的。）
看看例項效果吧：

——此影象來源於“THE WAVELET TUTORIAL”

上圖對同一個訊號（4個頻率成分）採用不同寬度的窗做STFT，結果如右圖。用窄窗，時頻圖在時間軸上解析度很高，幾個峰基本成矩形，而用寬窗則變成了綿延的矮山。但是頻率軸上，窄窗明顯不如下邊兩個寬窗精確。
    所以窄視窗時間解析度高、頻率解析度低，寬視窗時間解析度低、頻率解析度高。對於時變的非穩態訊號，高頻適合小視窗，低頻適合大視窗。然而STFT的視窗是固定的，在一次STFT中寬度不會變化，所以STFT還是無法滿足非穩態訊號變化的頻率的需求。

三、小波變換
    那麼你可能會想到，讓視窗大小變起來，多做幾次STFT不就可以了嗎？！沒錯，小波變換就有著這樣的思路。
    但事實上小波並不是這麼做的（有人認為“小波變換就是根據演算法，加不等長的窗，對每一小部分進行傅立葉變換”，這是不準確的。小波變換並沒有採用窗的思想，更沒有做傅立葉變換。）
    至於為什麼不採用可變窗的STFT呢，我認為是因為這樣做冗餘會太嚴重，STFT做不到正交化，這也是它的一大缺陷。

    於是小波變換的出發點和STFT還是不同的。STFT是給訊號加窗，分段做FFT；而小波直接把傅立葉變換的基給換了——將無限長的三角函式基換成了有限長的會衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時間了~

【解釋】
    來我們再回顧一下傅立葉變換吧，沒弄清傅立葉變換為什麼能得到訊號各個頻率成分的同學也可以再借我的圖理解一下。
    傅立葉變換把無限長的三角函式作為基函式：

這個基函式會伸縮、會平移（其實是兩個正交基的分解）。縮得窄，對應高頻；伸得寬，對應低頻。然後這個基函式不斷和訊號做相乘。某一個尺度（寬窄）下乘出來的結果，就可以理解成訊號所包含的當前尺度對應頻率成分有多少。於是，基函式會在某些尺度下，與訊號相乘得到一個很大的值，因為此時二者有一種重合關係。那麼我們就知道訊號包含該頻率的成分的多少。

    仔細體會可以發現，這一步其實是在計算訊號和三角函式的相關性。

 看，這兩種尺度能乘出一個大的值（相關度高），所以訊號包含較多的這兩個頻率成分，在頻譜上這兩個頻率會出現兩個峰。

    以上，就是粗淺意義上傅立葉變換的原理。
    如前邊所說，小波做的改變就在於，將無限長的三角函式基換成了有限長的會衰減的小波基。

這就是為什麼它叫“小波”，因為是很小的一個波嘛~

從公式可以看出，不同於傅立葉變換，變數只有頻率ω，小波變換有兩個變數：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函式的伸縮，平移量 τ控制小波函式的平移。尺度就對應於頻率（反比），平移量 τ就對應於時間。

當伸縮、平移到這麼一種重合情況時，也會相乘得到一個大的值。這時候和傅立葉變換不同的是，這不僅可以知道訊號有這樣頻率的成分，而且知道它在時域上存在的具體位置。

    而當我們在每個尺度下都平移著和訊號乘過一遍後，我們就知道訊號在每個位置都包含哪些頻率成分。
    看到了嗎？有了小波，我們從此再也不害怕非穩定訊號啦！從此可以做時頻分析啦！
    做傅立葉變換隻能得到一個頻譜，做小波變換卻可以得到一個時頻譜！

↑：時域訊號

↑：傅立葉變換結果

——此影象來源於“THE WAVELET TUTORIAL”

↑：小波變換結果

    小波還有一些好處：
    1. 我們知道對於突變訊號，傅立葉變換存在吉布斯效應，我們用無限長的三角函式怎麼也擬合不好突變訊號：

然而衰減的小波就不一樣了：

2. 小波可以實現正交化，短時傅立葉變換不能。

以上，就是小波的意義。
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    以上只是用形象地給大家展示了一下小波的思想，希望能對大家的入門帶來一些幫助。畢竟如果對小波一無所知，直接去看那些堆砌公式、照搬論文語言的教材，一定會痛苦不堪。
在這裡推薦幾篇入門讀物，都是以感性介紹為主，易懂但並不深入，對大家初步理解小波會很有幫助。文中有的思路和圖也選自於其中：
1. THE WAVELET TUTORIAL （強烈推薦，點選連結：INDEX TO SERIES OFTUTORIALS TO WAVELET TRANSFORM BY ROBI POLIKAR）
2. WAVELETS：SEEING THE FOREST AND THE TREES
3. A Really Friendly Guide to Wavelets
4. Conceptual wavelets

    但是真正理解透小波變換，這些還差得很遠。比如你至少還要知道有一個“尺度函式”的存在，它是構造“小波函式”的關鍵，並且是它和小波函式一起才構成了小波多解析度分析，理解了它才有可能利用小波做一些數字訊號處理；你還要理解離散小波變換、正交小波變換、二維小波變換、小波包……這些內容國內教材上講得也很糟糕，大家就一點一點啃吧~