每天學一丟意為每天學一點丟一點。

LCA

LCA$LCA$ 即樹上最近公共祖先，Tarjan$Tarjan$ 可以離線地去求 LCA$LCA$，並且可以維護樹上兩個點的距離。
Tarjan$Tarjan$ 的複雜度是 O(n+q)$O\left(n+q\right)$ 的

Tarjan

Tarjan$Tarjan$ 不僅可以解決 LCA$LCA$ 問題，還可以解決強連通等其他問題，今天只學會了 LCA$LCA$ 問題。
之前在camp中曾經學到過，樹上的 dfs$dfs$ 序特別的有用，例如，dfs$dfs$ 正序表示第一次訪問到這個節點，dfs$dfs$逆序表示訪問到這個節點時，它所有的子樹已經訪問過了。所以在做樹上dp$dp$的時候，這兩個細節對維護樹上的值就顯得特別有用。而

Tarjan$Tarjan$ 的基本思想就是並查集 + dfs$dfs$，而並查集的作用最主要的是維護當前子樹的根是哪裡。先做一個小小的證明，任意兩點的 LCA$LCA$ 說明，這兩點位於該點的兩顆不同子樹上，因為如果兩點同屬於一顆子樹的話，那顆子樹的根就是這兩點的 LCA$LCA$，特例是其中一個節點是另一個節點的祖先，但是在這個演算法中並不影響。那麼我們繼續，如果我們訪問到了一個查詢 (u,v)$(u,v)$ 的 u$u$ 節點，若此時 v$v$ 節點還沒有訪問過，則證明已訪問的子樹當中沒有

程式碼

vector<pair<int, int> >G[maxn];
map<pair<int, int>, pair<int, int> >ans;
vector<int> ask[maxn];
int vis[maxn], dis[maxn], fa[maxn], x[maxn], y[maxn];

void
 
 init(){
    ans.clear();
    rep(i, 0, maxn) {
        G[i].clear();
        ask[i].clear();
    }
    mm(vis, 0);
    mm(dis, 0);
}

void addedge(int u, int v, int w){
    G[u].push_back(mk(v, w));
    G[v].push_back(mk(u, w));
}

void addask(int u, int v){
    ask[u].push_back(v);
    ask[v].push_back(u);
}

int found(int x){
    return x==fa[x]?x:(fa[x]=found(fa[x]));
}

void Tarjan(int u) { //dis[root] = 0;
    fa[u] = u, vis[u] = 1;
    rep(i, 0, G[u].size()) {
        if(!vis[G[u][i].fi]){
            dis[G[u][i].fi] = dis[u] + G[u][i].se;
            Tarjan(G[u][i].fi);
            fa[G[u][i].fi] = u;
        }
    }

    rep(i, 0, ask[u].size()){
        if(vis[ask[u][i]]){
            int lca = found(ask[u][i]);
            int len = dis[u]+dis[ask[u][i]]-2*dis[lca];
            ans[mk(u, ask[u][i])] = ans[mk(ask[u][i], u)] = mk(lca, len);
        }
    }
}

小結

Tarjan$Tarjan$ 其實就是一個玩出花來的 dfs$dfs$，而我的程式碼當中因為使用了map$map$，所以複雜度上是多了一個log$\log$的，一些不太嚴格的資料還是可以過的= =