演算法題： 求一個整數陣列中，通過元素加減運算得到指定結果的所有運算過程. 例如【5,4,6,7,1】= 9 ?
題目： 給定一個整數陣列int[] a (a.length > 1)，和一個整數值 m，試輸出所有運算結果等於m的運算過程。可使用的運算方式只有加法和減法。陣列元素最多參與一次運算。例如，給定陣列【5,4,6,7,1】和整數9,輸出運算結果為9的運算過程如下：
+5+4=9
+5+4+6-7+1=9
+5+4-6+7-1=9
+5-4+7+1=9
+4+6-1=9
-4+6+7=9
-5+6+7+1=9
這個題目，我們可以使用回溯演算法得到所有的解。回溯法在問題的解空間樹中，按深度優先策略，從根節點出發搜尋解空間樹。演算法搜尋至解空間樹中的任一節點時，先判斷該節點是否包含問題的解。如果不包含，則跳過對已該結點為根的子數的搜尋，逐層向其祖先結點回溯。否則，進入該子樹，繼續按深度優先策略搜尋。回溯法求問題所有解時，要回溯到根，且根結點的所有子樹都已被搜尋遍才結束。回溯法求問題的一個解時，只要搜尋到問題的一個解就可結束。
回溯法通常包含3個步驟
- 針對所給問題，定義問題的解空間
- 確定易於搜尋的解空間結構。常見的結構一般為n叉樹結構，而且一般都是滿n叉樹。
- 以深度優先方式搜尋解空間，並在搜尋過程中使用剪枝函式避免無效搜尋。深度優先策略可以選擇先序遍歷，中序遍歷，和後序遍歷。
對於給定的這個題目，我們首先要確定問題的解空間。由於如下的條件限定
- 運算過程只能使用加法和減法
- 陣列元素最多參與一次運算
我們可以把陣列元素的操作轉換為 (x1 * +1 ) + (x2 * -1) + (x3 * 0) ....... = ? ，以題目為例, 很容易看出題目需要的解向量為 { (1,1,1,-1,1), (-1,0,1,1,1).....
} ,然後我們可以確定出解空間結構為一個3叉樹
最後，剩下的步驟就是遍歷這顆三叉樹，檢查每個節點的結果是否符合要求。我們以根節點，左子樹，中子樹，和右子樹的順序進行深度優先遍歷。那麼以最左邊樹為例，其遍歷的結果如上圖所示，其中只有遍歷到第三層時的加法運算組合滿足要求 (5+4 = 9)，那麼我們可以得到一個解向量，即 { (1,1,0,0,0) }。另外，符合要求的解，很有可能在葉子結點獲得。例如(5+4+6-7+1=9)，對應的解向量為{ (1,1,1,-1,1 ) }。
程式碼如下
解空間
- package com.csdn.blog.TechNerd.TraceBack;
- /*
- * 構造樹節點，包含左子節點，中子節點，和右子節點的引用。以及該節點深度及資料資訊。
- */
- publicclass Node {
- private Node _lnode;
- private Node _rnode;
- private Node _mnode;
- privateint _data;
- privateint _depth;
- public Node(int data,int depth){
- this._data = data;
- this._depth = depth;
- }
- publicvoid setLNode(Node lnode){
- this._lnode = lnode;
- }
- publicvoid setMNode(Node mnode){
- this._mnode = mnode;
- }
- publicvoid setRNode(Node rnode){
- this._rnode = rnode;
- }
- publicint getData(){
- returnthis._data;
- }
- publicint getDepth(){
- returnthis._depth;
- }
- public Node getLNode(){
- returnthis._lnode;
- }
- public Node getMNode(){
- returnthis._mnode;
- }
- public Node getRNode(){
- returnthis._rnode;
- }
- }
如下類為解空間資料結構，包含回溯演算法的應用。
- package com.csdn.blog.TechNerd.TraceBack;
- publicclass TraceBackTree {
- private Node _root;
- privateint _depth;
- privateint[] _a;
- privateint _m;
- public TraceBackTree(Node root,int depth,int[] a,int m){
- this._root = root;
- this._depth = depth;
- buildBTree();
- this._a = a;
- this._m = m;
- }
- /*
- * 構建解空間資料結構，題目所需要的是一個滿三叉樹。
- */
- privatevoid buildBTree(){
- this._root.setLNode(createNode(1,2));
- this._root.setMNode(createNode(0,2));
- this._root.setRNode(createNode(-1,2));
- }
- private Node createNode(int data,int depth){
- if (depth <= this._depth){
- Node n = new Node(data,depth);
- n.setLNode(createNode(1,depth + 1));
- n.setMNode(createNode(0,depth + 1));
- n.setRNode(createNode(-1,depth +1));
- return n;
- }else{
- returnnull;
- }
- }
- /*
- * 按照根節點，左子節點，中子節點，右子節點的順序對數進行遍歷，列印所有節點。
- */
- publicvoid preOrderTraverse(){
- preOrderTraverse(this._root);
- }
- privatevoid preOrderTraverse(Node n){
- if (n != null){
- printNode(n);
- preOrderTraverse(n.getLNode());
- preOrderTraverse(n.getMNode());
- preOrderTraverse(n.getRNode());
- }
- }
- privatevoid printNode(Node n){
- System.out.print(n.getData() + " ");
- }
- /*
- *回溯法求所有解。
- */
- publicvoid backTrace(int[] a,int m){
- int[] x = newint[this._depth - 1]; //定義儲存解向量的陣列。該陣列長度與題目給定的陣列長度相等。
- backTrace(this._root,x);
- }
- privatevoid backTrace(Node n,int[] x){
- if (n.getDepth() > 1) x[n.getDepth() - 2] = n.getData(); //將節點值付給解向量陣列。
- if (constraints(x,n.getDepth() - 2)){
- printSolution(x,n.getDepth() - 2);
- }
- if (n.getLNode() != null)
- backTrace(n.getLNode(),x);
- if (n.getMNode() != null)
- backTrace(n.getMNode(),x);
- if (n.getRNode() != null)
- backTrace(n.getRNode(),x);
- }
- /*
- * 檢查目前解向量是否滿足題目要求，就和等於指定值。
- */
- privateboolean constraints(int[] x,int boundary) {
- int sum = 0;
- for (int i=0;i<= boundary;i++){
- sum += _a[i] * x[i];
- }
- return (sum == _m && x[boundary] != 0);
- }
- privatevoid printSolution(int[] x,int boundary) {
- for (int i =0;i<= boundary;i++){
- if (x[i] == 1){
- System.out.print("+"+ _a[i]);
- }elseif (x[i] == 0){
-
}
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