最小生成樹：

　　生成樹的定義：給定一個無向圖，如果它的某個子圖中任意兩個頂點都互相連通並且是一棵樹，那麼這棵樹就叫做生成樹。（Spanning Tree）

　　最小生成樹的定義：在生成樹的基礎上，如果邊上有權值，那麼使得邊權和最小的生成樹叫做最小生成樹。（Minimum Spanning Tree ）

解決生成樹有兩種常用的演算法：Kruskal演算法和prim演算法。

這裡我們講的是prim演算法求生成樹的解法。

演算法思想：

　　ans = 0;(表示權值和)　　

　　1.在無向圖的基礎上，想象我們有一個點的集合X（初始狀態為空）。

　　2.在集合X中加入一個初始點x，用這個初始點更新其他點離集合X的距離mincost[ ]，標記初始點為使用過（使用過：加入集合X）。

　　3.找一個未使用過（集合X外的點）的離集合X最小距離最小的點，找到了這樣一個點，將這個點加入集合X,ans += 這個與集合X的距離，

　　　　用這個新加入的點更新其他點離集合X的最小距離mincost[ ]，標記新加入的點為使用過，繼續執行第3步；找不到這樣一個點，則進入第4步。

　　4.輸出ans。

　mincost[i] 表示點i離集合X的最小距離。（離集合X中所有點中最近的點的距離）

簡單來說就是：

　　想象一下，有10張面額不同的毛爺爺在你面前，每次只能拿1張，只能拿5次，你肯定會每次都拿這n張（n<=10）中最大的那張，

　　　　　　　這樣拿5次，讓總額最大。這個演算法也是同樣的道理，不斷的加入可觸及的最近的點，最後權值一定是最小的。

　　額，當然10張不同的毛爺爺是不存在的。所以一分都拿不到，還是看程式碼吧：

程式碼：

#include <bits\stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 2147483647
#define MAX_V 1000
#define MAX_E 2000 

int cost[MAX_V][MAX_V];  // cost[i][j] 表示頂點i到頂點j的權值，不存在時為INF 
int mincost[MAX_V];   // mincost[i] 表示i點與集合X的最小距離 
bool used[MAX_V];    //  used[i]表示點i是否在集合中 
 

int V;   //頂點數 

//表示從點x產生的最小生成樹，這麼考慮是因為整個圖可能不連通 
int prim(int x){
    //最初X集合為空，每個點到集合X的最小距離都是INF 
    for(int i = 0;i < V; ++i){
        mincost[i] = INF;
        used[i] = false;
    }

    //將點x與集合X的距離置為0，第一次集合X會加入點x 
    mincost[x] = 0;

    int res = 0;

    while(true){
        int v = -1;
        //找到離集合X最近的點，第一次加入點x 
        for(int u = 0;u < V; ++u){
            if(!used[u] && (v == -1 || mincost[u] < mincost[v])) v = u;
        }
        //如果所有點可達的點都加入集合X中了，就跳出 
        if(v == -1) break;
        used[v] = true;
        res += mincost[v];


        mincost[v] = 0;         //把點v加入到集合X中，這一步幫助理解，可寫可不寫 ，因為cost[v][v] = 0 

        //用新加入的點v更新其他點離與集合X的最小距離 
        for(int u = 0;u < V; ++u){
            mincost[u] = min(mincost[u] , cost[v][u]);
        }
    }
    return res;
}

int main(){
} 

與Dijkstra演算法的比較

　　Prim演算法與Dijkstra演算法都是從某個點出發，不斷加入最近的點。最終都要把所有可以加的點加完。

　　Prim演算法是求最小生成樹，Dijkstra是求單源最短路徑。

來個Dijkstra求單源最短路徑的程式碼，與Prim演算法比較一下：

#include <bits\stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 2147483647
#define MAX_V 1000
#define MAX_E 2000 

//單源最短路徑問題（Dijkstra演算法） 


int cost[MAX_V][MAX_V];  //cost[u][v]表示e = (u,v)的權值 
int d[MAX_V];        //頂點s出發的最短距離    //不同處1
bool used[MAX_V];    //標記使用過的點 
int V;          //頂點數 

void dijkstra(int s){
    fill(d, d+V, INF);
    fill(used, used + V, INF);
    d[s] = 0;

    while(true){
        int v = -1;

        //找到一個距離最近的沒有使用過的點 
        for(int u = 0;u < V; u++){
            if(!used[u] && (v == -1 || d[u] < d[v])) v = u;
        }
        //如果所有的點都被使用過了，則break
        if(v == -1) break;

        //標記當前點被使用過了 
        used[v] = true;

        //更新這個找到的距離最小的點所連的點的距離 
        for(int u = 0;u < V; u++){
            d[u] = min(d[u], d[v] + cost[v][u]);  //不同處2
        }

    }
}


int main(){
} 

我們可以看到程式碼基本上是一樣的，只有

不同處1：Djikstra中用d[i]表示i點離源點的最短距離，Prim中用mincost[i] 表示i點與集合X的距離。

不同處2：Djikstra中更新d[u] = min( d[u] , d[v] + cost[v][u] )； 用新加入的點更新其他點與源點的最小距離。

　　　　　Prim中更新mincost[u] = min( mincost[u] , cost[v][u] ); 用新加入的點更新點i與集合X的最小距離。

我認為只用加幾行程式碼，無論是在prim中加，還是在Dijkstra中加，就既可以求單源最短路徑，又可以求最小生成樹了。