差分約束系統

一、概念

二、引例

                                              

三、差分約束與最短路模型

1、與最短路模型的聯絡

先給出結論：求解差分約束系統，都可以轉化成圖論的單源最短路徑（或最長路徑）問題。

我們觀察上面例子中的不等式，都是x[i] - x[j] <= a[k]，可以進行移項，成為x[i] <= x[j] + a[k]，我們令a[k] = w(j, i)，dis[i]=x[i],並使i=v,j=u,那麼原始就變為：dis[u]+w(u,v)>=dis[v],於是可以聯想到最短路模型中的一部分程式碼

if(dis[u]+w(u,v)<=dis[v])
{
    dis[v]=dis[u]+w(u,v);
}

這不正與鬆弛操作相似嗎？

但是好像不等號方向剛好相反，但其實這並不矛盾

上面的程式碼要實現的是使dis[u]+w(u,v)>dis[v],而對於不等式，我們進行建邊的操作：對於每個不等式 x[i] - x[j] <= a[k]，對結點 j 和 i 建立一條 j -> i的有向邊，邊權為a[k]，求x[n-1] - x[0] 的最大值就是求 0 到n-1的最短路，兩者剛好吻合。所以求解差分約束問題就轉化為了最短路問題。

2.問題解的存在性

    由於在求解最短路時會出現存在負環或者終點根本不可達的情況，在求解差分約束問題時同樣存在

    （1）、存在負環

如果路徑中出現負環，就表示最短路可以無限小，即不存在最短路，那麼在不等式上的表現即X[n-1] - X[0] <= T中的T無限小，得出的結論就是 X[n-1] - X[0]的最大值不存在。在SPFA實現過程中體現為某一點的入隊次數大於節點數。（貌似可以用sqrt(num_node)來代替減少執行時間）

     （2）、終點不可達

這種情況表明X[n-1]和X[0]之間沒有約束關係，X[n-1] - X[0]的最大值無限大，即X[n-1]和X[0]的取值有無限多種。在程式碼實現過程中體現為dis[n-1]=INF。

3、不等式組的轉化

做題時可能會遇到不等式中的符號不相同的情況，但我們可以對它們進行適當的轉化

（1）方程給出：X[n-1]-X[0]>=T ,可以進行移項轉化為： X[0]-X[n-1]<=-T。

（2）方程給出：X[n-1]-X[0]<T, 可以轉化為X[n-1]-X[0]<=T-1。

（3）方程給出：X[n-1]-X[0]=T，可以轉化為X[n-1]-X[0]<=T&&X[n-1]-X[0]>=T，再利用（1）進行轉化即可

4、應用

對於不同的題目，給出的條件都不一樣，我們首先需要關注問題是什麼，如果需要求的是兩個變數差的最大值，那麼需要將所有不等式轉變成"<="的形式，建圖後求最短路；相反，如果需要求的是兩個變數差的最小值，那麼需要將所有不等式轉化成">="，建圖後求最長路。

5、相關題目連結